C贸mo calcular la distribuci贸n normal est谩ndar

C贸mo calcular la distribuci贸n normal est谩ndar

La distribuci贸n normal est谩ndar , que se conoce m谩s com煤nmente como curva de campana, aparece en una variedad de lugares. Normalmente se distribuyen varias fuentes de datos diferentes. Como resultado de este hecho, nuestro conocimiento sobre la distribuci贸n normal est谩ndar se puede utilizar en varias aplicaciones. Pero no necesitamos trabajar con una distribuci贸n normal diferente para cada aplicaci贸n. En cambio, trabajamos con una distribuci贸n normal con una media de 0 y una desviaci贸n est谩ndar de 1. Veremos algunas aplicaciones de esta distribuci贸n que est谩n todas vinculadas a un problema en particular.

 

Ejemplo

Suponga que se nos dice que las alturas de los machos adultos en una regi贸n particular del mundo se distribuyen normalmente con una media de 70 pulgadas y una desviaci贸n est谩ndar de 2 pulgadas.

  1. Aproximadamente, 驴qu茅 proporci贸n de machos adultos mide m谩s de 73 pulgadas?
  2. 驴Qu茅 proporci贸n de machos adultos miden entre 72 y 73 pulgadas?
  3. 驴Qu茅 altura corresponde al punto donde el 20% de todos los machos adultos son mayores que esta altura?
  4. 驴Qu茅 altura corresponde al punto donde el 20% de todos los machos adultos son menores que esta altura?
 

Soluciones

Antes de continuar, aseg煤rese de detenerse y repasar su trabajo. A continuaci贸n, se ofrece una explicaci贸n detallada de cada uno de estos problemas:

    1. Usamos nuestra f贸rmula de puntuaci贸n z para convertir 73 en una puntuaci贸n estandarizada. Aqu铆 calculamos (73 - 70) / 2 = 1,5. Entonces la pregunta es: 驴cu谩l es el 谩rea bajo la distribuci贸n normal est谩ndar para z mayor que 1.5? Consultar nuestra tabla de puntuaciones z nos muestra que 0,933 = 93,3% de la distribuci贸n de datos es menor que z = 1,5. Por lo tanto, 100% - 93,3% = 6,7% de los hombres adultos miden m谩s de 73 pulgadas.
    2. Aqu铆 convertimos nuestras alturas a una puntuaci贸n z estandarizada. Hemos visto que 73 tiene una puntuaci贸n z de 1,5. La puntuaci贸n z de 72 es (72 - 70) / 2 = 1. Por lo tanto, estamos buscando el 谩rea bajo la distribuci贸n normal para 1 < z <1.5. Una revisi贸n r谩pida de la tabla de distribuci贸n normal muestra que esta proporci贸n es 0.933 - 0.841 = 0.092 = 9.2%
    3. Aqu铆 la pregunta se invierte de lo que ya hemos considerado. Ahora buscamos en nuestra tabla para encontrar una puntuaci贸n z Z * que corresponde a un 谩rea de 0.200 arriba. Para su uso en nuestra tabla, observamos que aqu铆 es donde 0.800 est谩 por debajo. Cuando miramos la tabla, vemos que z * = 0.84. Ahora debemos convertir esta puntuaci贸n z en una altura. Dado que 0,84 = (x - 70) / 2, esto significa que x = 71,68 pulgadas.
 
  1. Podemos usar la simetr铆a de la distribuci贸n normal y ahorrarnos la molestia de buscar el valor z * . En lugar de z * = 0.84, tenemos -0.84 = (x - 70) / 2. Por tanto, x = 68,32 pulgadas.

El 谩rea de la regi贸n sombreada a la izquierda de z en el diagrama anterior demuestra estos problemas. Estas ecuaciones representan probabilidades y tienen numerosas aplicaciones en estad铆stica y probabilidad.



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