La variación de una distribución de una variable aleatoria es una característica importante. Este número indica la extensión de una distribución, y se encuentra al cuadrar la desviación estándar . Una distribución discreta comúnmente utilizada es la distribución de Poisson. veremos cómo calcular la varianza de la distribución de Poisson con el parámetro λ.
la distribución de poisson
Las distribuciones de Poisson se utilizan cuando tenemos un continuo de algún tipo y contamos cambios discretos dentro de este continuo. Esto ocurre cuando consideramos la cantidad de personas que llegan al mostrador de boletos de cine en el transcurso de una hora, hacemos un seguimiento de la cantidad de autos que viajan a través de una intersección con una parada de cuatro vías o contamos la cantidad de fallas que ocurren en una longitud de alambre
Si hacemos algunas suposiciones aclaratorias en estos escenarios, entonces estas situaciones coinciden con las condiciones para un proceso de Poisson. Luego decimos que la variable aleatoria, que cuenta el número de cambios, tiene una distribución de Poisson.
La distribución de Poisson en realidad se refiere a una familia infinita de distribuciones. Estas distribuciones vienen equipadas con un único parámetro λ. El parámetro es un número real positivo que está estrechamente relacionado con el número esperado de cambios observados en el continuo. Además, veremos que este parámetro es igual no solo a la media de la distribución sino también a la varianza de la distribución.
La función de masa de probabilidad para una distribución de Poisson viene dada por:
f ( x ) = (λ x e -λ ) / x !
En esta expresión, la letra e es un número y es la constante matemática con un valor aproximadamente igual a 2.718281828. la variable x puede ser cualquier número entero no negativo.
calcular la varianza
Para calcular la media de una distribución de Poisson, utilizamos la función de generación de momento de esta distribución . vemos eso:
m ( t ) = e [ e tx ] = Σ e tx f ( x ) = Σ e tx λ x e -λ ) / x !
Recordemos que ahora la serie de Maclaurin para e T . Como cualquier derivada de la función e u es e u , todas estas derivadas evaluadas en cero nos dan 1. ¡el resultado es la serie e u = Σ u n / n !
mediante el uso de la serie de Maclaurin para e T , podemos expresar la función generatriz de momentos no como una serie, pero en una forma cerrada. combinamos todos los términos con el exponente de x . así m ( t ) = e λ ( e t - 1) .
ahora encontramos la varianza tomando la segunda derivada de my evaluando esto en cero. como m '( t ) = λ e t m ( t ), usamos la regla del producto para calcular la segunda derivada:
m '' ( t ) = λ 2 e 2 t m '( t ) + λ e t m ( t )
evaluamos esto en cero y encontramos que m '' (0) = λ 2 + λ. entonces usamos el hecho de que m '(0) = λ para calcular la varianza.
var ( x ) = λ 2 + λ - (λ) 2 = λ.
Esto muestra que el parámetro λ no es solo la media de la distribución de Poisson, sino también su varianza.