Cómo calcular valores propios

Cómo calcular valores propios

cuando se te presenta una matriz en una clase de matemáticas o física, a menudo se te pedirá que encuentres sus valores propios. Si no está seguro de lo que eso significa o de cómo hacerlo, la tarea es desalentadora e implica muchas terminologías confusas que empeoran las cosas. Sin embargo, el proceso de cálculo de valores propios no es demasiado difícil si se siente cómodo resolviendo ecuaciones cuadráticas (o polinomiales), siempre que aprenda los conceptos básicos de matrices, valores propios y vectores propios.

Matrices, valores propios y vectores propios: qué significan.

Las matrices son matrices de números en las que una representa el nombre de una matriz genérica, como esta:

( 1 3)

a = (4 2)

los números en cada posición varían, e incluso puede haber expresiones algebraicas en su lugar. esta es una matriz de 2 × 2, pero vienen en una variedad de tamaños y no siempre tienen el mismo número de filas y columnas.

tratar con matrices es diferente de tratar con números ordinarios, y existen reglas específicas para multiplicar, dividir, sumar y restar una de otra. los términos "valor propio" y "vector propio" se usan en el álgebra matricial para referirse a dos cantidades características con respecto a la matriz. Este problema de valor propio lo ayuda a entender lo que significa el término:

a v = λ ∙ v

a es una matriz general como antes, v es un vector y λ es un valor característico. mire la ecuación y observe que cuando multiplica la matriz por el vector v , el efecto es reproducir el mismo vector simplemente multiplicado por el valor λ. este es un comportamiento inusual y gana el vector v y la cantidad λ nombres especiales: vector propio y valor propio. estos son valores característicos de la matriz porque la multiplicación de la matriz por el vector propio deja el vector sin cambios aparte de la multiplicación por un factor del valor propio.

cómo calcular valores propios

Si tiene el problema del valor propio para la matriz de alguna forma, encontrar el valor propio es fácil (porque el resultado será un vector igual al original, excepto que se multiplique por un factor constante: el valor propio). la respuesta se encuentra resolviendo la ecuación característica de la matriz:

det ( a - λ i ) = 0

donde i es la matriz de identidad, que está en blanco aparte de una serie de 1s que se ejecutan diagonalmente hacia abajo de la matriz. "Det" se refiere al determinante de la matriz, que para una matriz general:

(ab)

a = (cd)

es dado por

det a = ad –bc

entonces la ecuación característica significa:

(a - λ b)

det ( a - λ i ) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

como ejemplo de matriz, definamos a como:

(0 1)

a = (−2 −3)

entonces eso significa:

det ( a - λ i ) = (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × −2) = 0

= −λ (−3 - λ) + 2

= λ 2 + 3 λ + 2 = 0

las soluciones para λ son los valores propios, y usted resuelve esto como cualquier ecuación cuadrática. las soluciones son λ = - 1 y λ = - 2.

encontrar vectores propios

Encontrar los vectores propios es un proceso similar. usando la ecuación:

( a - λ) ∙ v = 0

con cada uno de los valores propios que hayas encontrado. esto significa:

(a - λ b) (v 1 ) (a - λ) v 1 + bv 2 (0)

( a - λ) ∙ v = (cd - λ) ∙ (v 2 ) = cv 1 + (d - λ) v 2 = (0)

Puedes resolver esto considerando cada fila sucesivamente. solo necesita la relación de v 1 a v 2 , porque habrá infinitas soluciones potenciales para v 1 y v 2 .



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