Cómo encontrar el ángulo central

Cómo encontrar el ángulo central

Imagina que est√°s parado en medio de una arena perfectamente circular. miras hacia las multitudes a lo largo de los lados de la arena, y ves a tu mejor amigo en un asiento y a tu maestro de matem√°ticas de la escuela media un par de secciones m√°s. ¬ŅCu√°l es la distancia entre ellos y t√ļ? ¬ŅQu√© tan lejos tendr√≠a que caminar para viajar desde el asiento de su amigo al asiento de su maestro? ¬ŅCu√°les son las medidas de los √°ngulos entre ustedes? Estas son todas las preguntas relacionadas con los √°ngulos centrales.

un ángulo central es el ángulo que se forma cuando dos radios se dibujan desde el centro del círculo hasta sus bordes. en este ejemplo, los dos radios son sus dos líneas de visión desde usted, en el centro de la arena, a su amigo, y su línea de visión a su maestro. El ángulo que se forma entre estas dos líneas es el ángulo central. Es el ángulo más cercano al centro del círculo.

tu amigo y tu maestro están sentados a lo largo de la circunferencia o los bordes del círculo. El camino a lo largo de la arena que los conecta es un arco .

encuentra el √°ngulo central desde la longitud del arco y la circunferencia

Hay un par de ecuaciones que puedes usar para encontrar el ángulo central. a veces obtendrás la longitud del arco , la distancia a lo largo de la circunferencia entre dos puntos. (en el ejemplo, esta es la distancia que tendrías que caminar por la arena para llegar de tu amigo a tu maestro). La relación entre el ángulo central y la longitud del arco es:

(longitud del arco) √∑ circunferencia = (√°ngulo central) √∑ ‚Äč‚Äč360 ¬į

El √°ngulo central ser√° en grados.

Esta fórmula tiene sentido, si lo piensas. la longitud del arco fuera de la longitud total alrededor del círculo (circunferencia) es la misma proporción que el ángulo del arco fuera del ángulo total en un círculo (360 grados).

Para usar esta ecuación de manera efectiva, necesitas conocer la circunferencia del círculo. pero también puede usar esta fórmula para encontrar la longitud del arco si conoce el ángulo central y la circunferencia. o, si tienes la longitud del arco y el ángulo central, ¡puedes encontrar la circunferencia!

Encuentra el √°ngulo central desde la longitud del arco y el radio.

Tambi√©n puede usar el radio del c√≠rculo y la longitud del arco para encontrar el √°ngulo central. llamar a la medida del √°ngulo central őł. entonces:

őł = s √∑ r , donde s es la longitud del arco y r es el radio. őł se mide en radianes.

de nuevo, puede reorganizar esta ecuaci√≥n seg√ļn la informaci√≥n que tenga. Puedes encontrar la longitud del arco desde el radio y el √°ngulo central. o puede encontrar el radio si tiene el √°ngulo central y la longitud del arco.

Si quieres la longitud del arco, la ecuación se ve así:

s = őł * r , donde s es la longitud del arco, r es el radio y őł es el √°ngulo central en radianes.

el teorema del √°ngulo central

agreguemos un giro a tu ejemplo donde est√°s en la arena con tu vecino y tu maestro. ahora hay una tercera persona que conoces en la arena: tu vecino de al lado. Y una cosa m√°s: est√°n detr√°s de ti. Tienes que dar la vuelta para verlos.

tu vecino está aproximadamente al otro lado de la arena de tu amigo y tu maestro. Desde el punto de vista de su vecino, hay un ángulo formado por su línea de visión hacia el amigo y su línea de visión hacia el maestro. Eso se llama un ángulo inscrito. un ángulo inscrito es un ángulo formado por tres puntos a lo largo de la circunferencia de un círculo.

el teorema del √°ngulo central explica la relaci√≥n entre el tama√Īo del √°ngulo central, formado por usted, y el √°ngulo inscrito, formado por su vecino. el teorema del √°ngulo central establece que el √°ngulo central es el doble del √°ngulo inscrito . (Esto supone que est√°s usando los mismos puntos finales. Ambos est√°n mirando al profesor y al amigo, no a nadie m√°s).

Aqu√≠ hay otra forma de escribirlo. Llamemos al asiento de tu amigo a, el asiento de tu maestro b y el asiento de tu vecino c. T√ļ, en el centro, puedes ser o.

entonces, para los tres puntos a, byc a lo largo de la circunferencia de un c√≠rculo y el punto o en el centro, el √°ngulo central ‚ą†aoc es el doble del √°ngulo inscrito ‚ą†abc.

es decir, ‚ą†aoc = 2‚ą†abc.

Esto tiene alg√ļn sentido. est√°s m√°s cerca del amigo y el maestro, por lo que se ven m√°s separados (un √°ngulo m√°s amplio). A su vecino, al otro lado del estadio, se ven mucho m√°s juntos (un √°ngulo m√°s peque√Īo).

Excepción al teorema del ángulo central.

Ahora, vamos a cambiar las cosas. ¡Tu vecino en el otro lado de la arena comienza a moverse! todavía tienen una línea de visión para el amigo y el maestro, pero las líneas y los ángulos siguen cambiando a medida que el vecino se mueve. adivina qué: mientras el vecino se mantenga fuera del arco entre el amigo y el vecino, ¡el teorema del ángulo central sigue siendo válido!

¬ŅPero qu√© pasa cuando el vecino se mueve entre el amigo y el maestro? ahora su vecino est√° dentro del arco menor , la distancia relativamente peque√Īa entre el amigo y el maestro en comparaci√≥n con la distancia m√°s grande alrededor del resto de la arena. entonces alcanzas una excepci√≥n al teorema del √°ngulo central.

la excepción al teorema del ángulo central establece que cuando el punto c, el vecino, está dentro del arco menor, el ángulo inscrito es el complemento de la mitad del ángulo central. (Recuerda que un ángulo y su suplemento se agregan a 180 grados).

entonces: √°ngulo inscrito = 180 - (√°ngulo central √∑ 2)

o: ‚ą†abc = 180 - (‚ą†aoc 2)

visualizar

La referencia abierta de matemáticas tiene una herramienta para visualizar el teorema del ángulo central y su excepción. puedes arrastrar el "vecino" a todas las diferentes partes del círculo y ver cómo cambian los ángulos. Pruébalo si quieres una práctica visual o extra!



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