Cómo encontrar el ángulo entre las diagonales de un cubo

Cómo encontrar el ángulo entre las diagonales de un cubo

Si tuvieras que tomar un cuadrado y dibujar dos líneas diagonales, se cruzarían en el centro y formarían cuatro triángulos rectos. Las dos diagonales se cruzan a 90 grados. Usted podría adivinar intuitivamente que dos diagonales de un cubo, cada una desde una esquina del cubo hasta su esquina opuesta y cruzándose en el centro, también se cruzarían en ángulos rectos. estarías equivocado determinar el ángulo al que se cruzan dos diagonales en un cubo es un poco más complicado de lo que parece a primera vista, pero es una gran práctica para comprender los principios de la geometría y la trigonometría.

    define la longitud de un borde como una unidad. por definición, cada borde del cubo tiene una longitud idéntica a una unidad.

    Usa el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de una diagonal que va desde una esquina hasta la esquina opuesta en la misma cara. Llamemos a esto una "diagonal corta" por el bien de la claridad. cada lado del triángulo rectángulo formado es una unidad, por lo que la diagonal debe ser igual a √2.

    Use el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de una diagonal que va desde una esquina a la esquina opuesta de la cara opuesta. llame a esto una "diagonal larga". tiene un triángulo rectángulo con un lado igual a 1 unidad y un lado igual a una "diagonal corta", √2 unidades. el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los lados, por lo que la hipotenusa debe ser √3. cada diagonal que se extiende desde una esquina del cubo a la esquina opuesta tiene una longitud de √3 unidades.

    dibuja un rectángulo para representar dos diagonales largas que se cruzan en el centro del cubo. Quieres encontrar el ángulo de su intersección. este rectángulo tendrá 1 unidad de alto y √2 unidades de ancho. las diagonales largas se bisectan entre sí en el centro de este rectángulo y forman dos tipos diferentes de triángulos. uno de estos triángulos tiene un lado igual a una unidad y los otros dos lados igual a √3 / 2 (la mitad de la longitud de una diagonal larga). el otro también tiene dos lados iguales a √3 / 2 pero su otro lado es igual a √2. solo necesitas analizar uno de los triángulos, así que toma el primero y resuelve el ángulo desconocido.

    usa la fórmula trigonométrica c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos c para resolver el ángulo desconocido de este triángulo. c = 1, y tanto a como b son iguales a √3 / 2. al insertar estos valores en la ecuación, determinará que el coseno de su ángulo desconocido es 1/3. Tomar el coseno inverso de 1/3 da un ángulo de 70.5 grados.



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