Cómo encontrar un vector que sea perpendicular

Cómo encontrar un vector que sea perpendicular

para construir un vector que sea perpendicular a otro vector dado, puede usar técnicas basadas en el producto punto y el producto cruzado de los vectores. el producto puntual de los vectores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) es igual a la suma de los productos de los componentes correspondientes: a ∙ b = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. si dos vectores son perpendiculares, entonces su producto punto es igual a cero. el producto cruzado de dos vectores se define como a × b = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2 * b1). El producto cruzado de dos vectores no paralelos es un vector que es perpendicular a ambos.

dos dimensiones - producto punto

    escriba un vector hipotético, desconocido v = (v1, v2).

    Calcule el punto-producto de este vector y el vector dado. Si le dan u = (-3,10), entonces el producto punto es v ∙ u = -3 v1 + 10 v2.

    establezca el punto-producto igual a 0 y resuelva un componente desconocido en términos del otro: v2 = (3/10) v1.

    elige cualquier valor para v1. por ejemplo, v1 = 1.

    resolver para v2: v2 = 0.3. el vector v = (1,0.3) es perpendicular a u = (-3,10). si elige v1 = -1, obtendrá el vector v '= (-1, -0.3), que apunta en la dirección opuesta a la primera solución. estas son las únicas dos direcciones en el plano bidimensional perpendicular al vector dado. puede escalar el nuevo vector a cualquier magnitud que desee. por ejemplo, para convertirlo en un vector unitario con magnitud 1, construiría w = v / (magnitud de v) = v / (sqrt (10) = (1 / sqrt (10), 0.3 / sqrt (10).

tres dimensiones - producto punto

    escriba un vector desconocido hipotético v = (v1, v2, v3).

    Calcule el punto-producto de este vector y el vector dado. si le dan u = (10, 4, -1), entonces v ∙ u = 10 v1 + 4 v2 - v3.

    establece el punto-producto igual a cero. Esta es la ecuación para un plano en tres dimensiones. cualquier vector en ese plano es perpendicular a u. cualquier conjunto de tres números que satisfaga 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0 servirá.

    elija valores arbitrarios para v1 y v2, y resuelva para v3. deja v1 = 1 y v2 = 1. luego v3 = 10 + 4 = 14.

    realice la prueba de punto-producto para mostrar que v es perpendicular a u: mediante la prueba de punto-producto, el vector v = (1, 1, 14) es perpendicular al vector u: v ∙ u = 10 + 4 - 14 = 0.

tres dimensiones - producto cruzado

    elija cualquier vector arbitrario que no sea paralelo al vector dado. si un vector y es paralelo a un vector x, entonces y = a * x para alguna constante no cero a. para simplificar, use uno de los vectores de base unitaria, como x = (1, 0, 0).

    calcule el producto cruzado de x y u, usando u = (10, 4, -1): w = x × u = (0, 1, 4).

    comprueba que w es perpendicular a u. w ∙ u = 0 + 4 - 4 = 0. utilizando y = (0, 1, 0) o z = (0, 0, 1) daría diferentes vectores perpendiculares. todos estarían en el plano definido por la ecuación 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0.



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