Las tasas de cambio se muestran en la ciencia y especialmente en la física a través de cantidades como la velocidad y la aceleración. los derivados describen la tasa de cambio de una cantidad con respecto a otra matemáticamente, pero calcularlos puede ser complicado a veces, y se le puede presentar una gráfica en lugar de una función en forma de ecuación. Si se te presenta una gráfica de una curva y tienes que encontrar la derivada de ella, es posible que no puedas ser tan preciso como con una ecuación, pero puedes hacer una estimación sólida fácilmente.
¿Qué es un derivado?
fuera de la configuración abstracta de diferenciar una ecuación, podría estar un poco confundido acerca de lo que realmente es un derivado. en álgebra, una derivada de una función es una ecuación que te dice el valor de la "pendiente" de la función en cualquier punto. en otras palabras, le dice cuánto cambia una cantidad dado un pequeño cambio en la otra. en una gráfica, el gradiente o la pendiente de la línea le dice cuánto cambia la variable dependiente (colocada en el eje y ) con la variable independiente (en el eje x ).
para los gráficos de línea recta, usted determina la tasa de cambio (constante) calculando la pendiente del gráfico. las relaciones descritas por las curvas no son tan fáciles de tratar, pero el principio de que la derivada simplemente significa que la pendiente (en ese punto específico) sigue siendo válida.
Para las relaciones descritas por curvas, la derivada toma un valor diferente en cada punto a lo largo de la curva. para estimar la derivada de la gráfica, debe elegir un punto para tomar la derivada en. por ejemplo, si tiene un gráfico que muestra la distancia recorrida en función del tiempo, en un gráfico de línea recta, la pendiente le indicará la velocidad constante. para velocidades que cambian con el tiempo, el gráfico sería una curva, pero una línea recta que solo toca la curva en un punto (una línea tangencial a la curva) representa la tasa de cambio en ese punto específico.
Elija un lugar en el que necesite conocer el derivado en. utilizando el ejemplo de la distancia recorrida en función del tiempo, seleccione la hora a la que desea conocer la velocidad de viaje. Si necesita conocer la velocidad en varios puntos diferentes, puede ejecutar este proceso para cada punto individual. Si desea conocer la velocidad 15 segundos después del inicio del movimiento, elija el punto en la curva a los 15 segundos en el eje x .
dibuje una línea tangencial a la curva en el punto que le interesa. tómese su tiempo para hacer esto, porque es la parte más importante y más desafiante del proceso. su estimación será mejor si dibuja una línea tangente más precisa. mantenga una regla hasta el punto de la curva y ajuste su orientación para que la línea que dibuje solo toque la curva en el punto que le interesa.
Dibuja tu línea siempre que el gráfico lo permita. asegúrese de poder leer fácilmente dos valores para las coordenadas x e y , uno cerca del inicio de la línea y otro cerca del final. no es absolutamente necesario dibujar una línea larga (técnicamente cualquier línea recta es adecuada), pero las líneas más largas tienden a ser más fáciles de medir la pendiente de.
localice dos lugares en su línea y tome nota de las coordenadas x e y para ellos. por ejemplo, imagine su línea tangente como dos puntos notables en x = 1, y = 3 y x = 10, y = 30, a los que puede llamar punto 1 y punto 2. usando los símbolos x 1 e y 1 para representar las coordenadas del primer punto y x 2 y y 2 para representar las coordenadas del segundo punto, la pendiente m viene dada por:
m = ( y 2 - y 1 ) ÷ ( x 2 - x 1 )
esto le indica la derivada de la curva en el punto donde la línea toca la curva. en el ejemplo, x 1 = 1, x 2 = 10, y 1 = 3 y y 2 = 30, entonces:
m = (30 - 3) ÷ (10 - 1)
= 27 ÷ 9
= 3
en el ejemplo, este resultado sería la velocidad en el punto elegido. por lo tanto, si el eje x se midió en segundos y el eje y se midió en metros, el resultado significaría que el vehículo en cuestión viajaba a 3 metros por segundo. independientemente de la cantidad específica que esté calculando, el proceso de estimación del derivado es el mismo.