La integración de funciones es una de las aplicaciones centrales del cálculo. A veces, esto es sencillo, como en:
f (x) = ∫ (x 3 + 8) dx
en un ejemplo comparativamente complicado de este tipo, puede usar una versión de la fórmula básica para integrar integrales indefinidas:
∫ (x n + a) dx = x (n + 1) / (n + 1) + an + c,
donde ayc son constantes.
así para este ejemplo,
∫ x 3 + 8 = x 4 /4 + 8x + c.
Integración de funciones básicas de raíz cuadrada.
en la superficie, la integración de una función de raíz cuadrada es incómoda. por ejemplo, puede ser obstaculizado por:
f (x) = ∫ √ [(x 3 ) + 2x - 7] dx
pero puedes expresar una raíz cuadrada como exponente, 1/2:
√ x 3 = x 3 (1/2) = x (3/2)
La integral por lo tanto se convierte en:
∫ (x 3/2 + 2x - 7) dx
A lo que se puede aplicar la fórmula habitual desde arriba:
= X (5/2) / (5/2) + 2 (x 2 /2) - 7x
= (2/5) x (5/2) + x 2 - 7x
Integración de funciones de raíz cuadrada más complejas.
a veces, puede tener más de un término bajo el signo radical, como en este ejemplo:
f (x) = ∫ [(x + 1) / √ (x - 3)] dx
puede utilizar la sustitución de u para proceder. Aquí, usted establece u igual a la cantidad en el denominador:
u = √ (x - 3)
resuelve esto para x cuadrando ambos lados y restando:
u 2 = x - 3
x = u 2 + 3
esto le permite obtener dx en términos de u tomando la derivada de x:
dx = (2u) du
sustituyendo de nuevo en la integral original da
f (x) = ∫ (u 2 + 3 + 1) / u du
= ∫ [(2u 3 + 6u + 2u) / u] du
= ∫ (2u 2 + 8) du
ahora puedes integrar esto usando la fórmula básica y expresando u en términos de x:
∫ (2u 2 + 8) du = (2/3) u 3 + 8u + c
= (2/3) [√ (x - 3)] 3 + 8 [√ (x - 3)] + c
= (2/3) (x - 3) (3/2) + 8 (x - 3) (1/2) + c