Cómo integrar funciones de raíz cuadrada

Cómo integrar funciones de raíz cuadrada

La integración de funciones es una de las aplicaciones centrales del cálculo. A veces, esto es sencillo, como en:

f (x) = ‚ąę (x 3 + 8) dx

en un ejemplo comparativamente complicado de este tipo, puede usar una versión de la fórmula básica para integrar integrales indefinidas:

‚ąę (x n + a) dx = x (n + 1) / (n + 1) + an + c,

donde ayc son constantes.

así para este ejemplo,

‚ąę x 3 + 8 = x 4 /4 + 8x + c.

Integración de funciones básicas de raíz cuadrada.

en la superficie, la integración de una función de raíz cuadrada es incómoda. por ejemplo, puede ser obstaculizado por:

f (x) = ‚ąę ‚ąö [(x 3 ) + 2x - 7] dx

pero puedes expresar una raíz cuadrada como exponente, 1/2:

‚ąö x 3 = x 3 (1/2) = x (3/2)

La integral por lo tanto se convierte en:

‚ąę (x 3/2 + 2x - 7) dx

A lo que se puede aplicar la fórmula habitual desde arriba:

= X (5/2) / (5/2) + 2 (x 2 /2) - 7x

= (2/5) x (5/2) + x 2 - 7x

Integración de funciones de raíz cuadrada más complejas.

a veces, puede tener más de un término bajo el signo radical, como en este ejemplo:

f (x) = ‚ąę [(x + 1) / ‚ąö (x - 3)] dx

puede utilizar la sustitución de u para proceder. Aquí, usted establece u igual a la cantidad en el denominador:

u = ‚ąö (x - 3)

resuelve esto para x cuadrando ambos lados y restando:

u 2 = x - 3

x = u 2 + 3

esto le permite obtener dx en términos de u tomando la derivada de x:

dx = (2u) du

sustituyendo de nuevo en la integral original da

f (x) = ‚ąę (u 2 + 3 + 1) / u du

= ‚ąę [(2u 3 + 6u + 2u) / u] du

= ‚ąę (2u 2 + 8) du

ahora puedes integrar esto usando la fórmula básica y expresando u en términos de x:

‚ąę (2u 2 + 8) du = (2/3) u 3 + 8u + c

= (2/3) [‚ąö (x - 3)] 3 + 8 [‚ąö (x - 3)] + c

= (2/3) (x - 3) (3/2) + 8 (x - 3) (1/2) + c



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