resolver desigualdades de valor absoluto es muy parecido a resolver ecuaciones de valor absoluto, pero hay algunos detalles adicionales que se deben tener en cuenta. ayuda ya estar cómodo resolviendo ecuaciones de valor absoluto, pero está bien si las aprendes juntas también.
definición de desigualdad de valor absoluto
En primer lugar, una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que implica una expresión de valor absoluto. por ejemplo,
| 5 + x | - 10> 6 es una desigualdad de valor absoluto porque tiene un signo de desigualdad,> y una expresión de valor absoluto, | 5 + x |.
Cómo resolver una desigualdad de valor absoluto.
Los pasos para resolver una desigualdad de valor absoluto son muy parecidos a los pasos para resolver una ecuación de valor absoluto:
paso 1: aislar la expresión de valor absoluto en un lado de la desigualdad.
Paso 2: resolver la "versión" positiva de la desigualdad.
paso 3: resuelve la "versión" negativa de la desigualdad multiplicando la cantidad en el otro lado de la desigualdad por −1 y moviendo el signo de desigualdad.
eso es mucho para comprender de una vez, así que aquí hay un ejemplo que lo guiará a través de los pasos.
Resuelve la desigualdad para x : | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
para hacer esto, consigue | 5 + 5_x_ | Por sí mismo en el lado izquierdo de la desigualdad. todo lo que tienes que hacer es agregar 3 a cada lado:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Ahora hay dos "versiones" de la desigualdad que debemos resolver: la "versión positiva" y la "versión negativa".
para este paso, asumiremos que las cosas son como aparecen: que 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
esta es una simple desigualdad; Solo tienes que resolver para x como de costumbre. Resta 5 de ambos lados, luego divide ambos lados por 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (resta cinco de ambos lados)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (divide ambos lados entre cinco)
x > 0.
¡no está mal! Entonces, una posible solución a nuestra desigualdad es que x > 0. ahora, ya que hay valores absolutos involucrados, es hora de considerar otra posibilidad.
Para entender este siguiente bit, ayuda recordar lo que significa el valor absoluto. el valor absoluto mide la distancia de un número desde cero. la distancia siempre es positiva, por lo que 9 está a nueve unidades del cero, pero −9 también está a nueve unidades del cero.
entonces 9 | = 9, pero | −9 | = 9 también.
Ahora volvamos al problema anterior. el trabajo anterior mostró que | 5 + 5_x_ | > 5; en otras palabras, el valor absoluto de "algo" es mayor que cinco. ahora, cualquier número positivo mayor que cinco estará más lejos de cero que cinco. así que la primera opción fue que "algo", 5 + 5_x_, es mayor que 5.
es decir: 5 + 5_x_> 5.
Ese es el escenario abordado arriba, en el paso 2.
Ahora piensa un poco más. ¿Qué más está a cinco unidades de cero? Bueno, el cinco negativo es. y cualquier cosa más a lo largo de la recta numérica del negativo cinco estará aún más lejos de cero. así que nuestro "algo" podría ser un número negativo que está más alejado de cero que cinco negativos. eso significa que sería un número de mayor sonido, pero técnicamente menos que cinco negativos porque se está moviendo en la dirección negativa en la recta numérica.
así que nuestro "algo", 5 + 5x, podría ser menor que −5.
5 + 5_x_ <−5
la forma rápida de hacer esto algebraicamente es multiplicar la cantidad en el otro lado de la desigualdad, 5, por una negativa, luego voltear el signo de desigualdad:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
luego resolver como de costumbre.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (reste 5 de ambos lados)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
x <−2.
entonces las dos soluciones posibles a la desigualdad son x > 0 o x <−2. compruébese a sí mismo conectando algunas soluciones posibles para asegurarse de que la desigualdad sigue siendo válida.
Desigualdades de valor absoluto sin solución.
existe un escenario en el que no habría soluciones a una desigualdad de valor absoluto . ya que los valores absolutos son siempre positivos, no pueden ser iguales o menores que los números negativos.
entonces x | <−2 no tiene solución porque el resultado de una expresión de valor absoluto tiene que ser positivo.
notación de intervalos
Para escribir la solución a nuestro ejemplo principal en notación de intervalos , piense cómo se ve la solución en la recta numérica. nuestra solución fue x > 0 o x <−2. en una recta numérica, es un punto abierto en 0, con una línea que se extiende hasta el infinito positivo y un punto abierto en −2, con una línea que se extiende hasta el infinito negativo. estas soluciones apuntan alejadas unas de otras, no una hacia la otra, así que tome cada pieza por separado.
para x> 0 en una recta numérica, hay un punto abierto en cero y luego una línea que se extiende hasta el infinito. en notación de intervalo, un punto abierto se ilustra con paréntesis, (), y un punto cerrado, o las desigualdades con ≥ o ≤, usarían corchetes, []. entonces para x > 0, escribe (0, ∞).
la otra mitad, x <−2, en una recta numérica es un punto abierto en −2 y luego una flecha que se extiende hasta −∞. en notación de intervalo, eso es (−∞, −2).
"o" en notación de intervalo es el signo de unión,.
por lo que la solución en notación de intervalo es (−∞, −2) ∪ (0, ∞).