La raíz cuadrada de un número es un valor que, cuando se multiplica por sí mismo, da el número original. por ejemplo, la raíz cuadrada de 0 es 0, la raíz cuadrada de 100 es 10 y la raíz cuadrada de 50 es 7.071. a veces, puede averiguar, o simplemente recordar, la raíz cuadrada de un número que en sí mismo es un "cuadrado perfecto", que es el producto de un número entero multiplicado por sí mismo; A medida que avanza en sus estudios, es probable que desarrolle una lista mental de estos números (1, 4, 9, 25, 36 ...).
Los problemas que involucran las raíces cuadradas son indispensables en ingeniería, cálculo y en prácticamente todos los ámbitos del mundo moderno. Aunque puede ubicar fácilmente las calculadoras de ecuaciones de raíz cuadrada en línea (consulte los recursos para ver un ejemplo), resolver ecuaciones de raíz cuadrada es una habilidad importante en álgebra, ya que le permite familiarizarse con el uso de radicales y trabajar con varios tipos de problemas fuera del reino. de raíces cuadradas per se.
Cuadrados y raíces cuadradas: propiedades básicas.
el hecho de que multiplicar dos números negativos entre sí produce un número positivo es importante en el mundo de las raíces cuadradas porque implica que los números positivos en realidad tienen dos raíces cuadradas (por ejemplo, las raíces cuadradas de 16 son 4 y -4, incluso si solo el el primero es intuitivo). de manera similar, los números negativos no tienen raíces cuadradas reales, porque no hay un número real que tome un valor negativo cuando se multiplica por sí mismo. en esta presentación, la raíz cuadrada negativa de un número positivo se ignorará, por lo que la "raíz cuadrada de 361" se puede tomar como "19" en lugar de "-19 y 19".
Además, cuando se trata de estimar el valor de una raíz cuadrada cuando no hay una calculadora a mano, es importante darse cuenta de que las funciones que involucran cuadrados y raíces cuadradas no son lineales. verá más sobre esto en la sección sobre gráficos más adelante, pero como un ejemplo aproximado, ya ha observado que la raíz cuadrada de 100 es 10 y la raíz cuadrada de 0 es 0. a la vista, esto podría llevarlo a adivinar que la raíz cuadrada para 50 (que está a medio camino entre 0 y 100) debe ser 5 (que está a medio camino entre 0 y 10). pero también has aprendido que la raíz cuadrada de 50 es 7.071.
finalmente, es posible que haya internalizado la idea de que multiplicar dos números entre sí produce un número mayor que el mismo, lo que implica que las raíces cuadradas de los números siempre son más pequeñas que el número original. ¡Este no es el caso! los números entre 0 y 1 también tienen raíces cuadradas, y en todos los casos, la raíz cuadrada es mayor que el número original. Esto se muestra más fácilmente usando fracciones. por ejemplo, 16/25, o 0.64, tiene un cuadrado perfecto tanto en el numerador como en el denominador. esto significa que la raíz cuadrada de la fracción es la raíz cuadrada de sus componentes superior e inferior, que es 4/5. esto es igual a 0.80, un número mayor que 0.64.
terminología de la raíz cuadrada
"la raíz cuadrada de x" generalmente se escribe usando lo que se llama un signo radical, o simplemente un radical (√). así para cualquier x, √x representa su raíz cuadrada. volteando esto, el cuadrado de un número x se escribe usando un exponente de 2 (x 2 ). Los exponentes toman superíndices en procesadores de texto y aplicaciones relacionadas, y también se denominan potencias. Debido a que los signos radicales no siempre son fáciles de producir bajo demanda, otra forma de escribir "la raíz cuadrada de x" es usar un exponente: x 1/2 .
esto a su vez es parte de un esquema general: x (y / z) significa "elevar x a la potencia de y, luego tomar la raíz 'z' de él". x 1/2 significa "elevar x a la primera potencia, que simplemente es x otra vez, y luego tomar la raíz 2 o la raíz cuadrada". extendiendo esto, x (5/3) significa "elevar x a la potencia de 5, luego encuentre la tercera raíz (o raíz cúbica) del resultado".
Los radicales se pueden usar para representar raíces distintas de 2, la raíz cuadrada. esto se hace simplemente agregando un superíndice a la parte superior izquierda del radical. 3 √x 5 , entonces, representa el mismo número que x (5/3) del párrafo anterior.
La mayoría de las raíces cuadradas son números irracionales. esto significa que no solo no son agradables sino que también son enteros limpios (por ejemplo, 1, 2, 3, 4 ...), sino que tampoco pueden expresarse como un número decimal claro que termina sin tener que redondearlos. un número racional puede expresarse como una fracción. así que aunque 2.75 no es un número entero, es un número racional porque es lo mismo que la fracción 11/4. Se le dijo anteriormente que la raíz cuadrada de 50 es 7.071, pero esto en realidad se redondea desde un número infinito de decimales. el valor exacto de √50 es 5√2, y verás cómo esto se determina pronto.
gráficas de funciones de raíz cuadrada
Ya has visto que las ecuaciones que involucran cuadrados y raíces cuadradas no son lineales. Una forma fácil de recordar esto es que los gráficos de las soluciones de estas ecuaciones no son líneas. esto tiene sentido, porque si, como se señaló, el cuadrado de 0 es 0 y el cuadrado de 10 es 100, pero el cuadrado de 5 no es 50, el gráfico resultante de simplemente cuadrar un número debe curvarse hasta los valores correctos.
Este es el caso con la gráfica de y = x 2 , como puede ver usted mismo visitando la calculadora en los recursos y cambiando los parámetros. la línea pasa por el punto (0,0), y y no pasa por debajo de 0, lo que debe esperar porque sabe que x 2 nunca es negativo. También puede ver que la gráfica es simétrica alrededor del eje y, lo que también tiene sentido porque cada raíz cuadrada positiva de un número dado está acompañada por una raíz cuadrada negativa de igual magnitud. por lo tanto, con la excepción de 0, cada valor y en el gráfico de y = x 2 está asociado con dos valores de x.
problemas de raíz cuadrada
Una forma de abordar los problemas básicos de la raíz cuadrada a mano es buscar cuadrados perfectos "ocultos" dentro del problema. En primer lugar, es importante conocer algunas propiedades vitales de los cuadrados y las raíces cuadradas. uno de estos es que, al igual que √x 2 es simplemente igual a x (porque el radical y el exponente se cancelan), √x 2 y = x√y. es decir, si tienes un cuadrado perfecto bajo un radical que multiplica otro número, puedes "extraerlo" y usarlo como un coeficiente de lo que queda. por ejemplo, volviendo a la raíz cuadrada de 50, √50 = √ (25) (2) = 5√2.
a veces puedes terminar con un número que involucra raíces cuadradas que se expresa como una fracción, pero sigue siendo un número irracional porque el denominador, el numerador o ambos contienen un radical. En tales casos, se le puede pedir que racionalice el denominador. por ejemplo, el número (6√5) / √45 tiene un radical tanto en el numerador como en el denominador. pero después de examinar "45", puede reconocerlo como el producto de 9 y 5, lo que significa que √45 = √ (9) (5) = 3√5. por lo tanto, la fracción se puede escribir (6√5) / (3√5). los radicales se anulan entre sí, y te quedan 6/3 = 2.