C贸mo utilizar la probabilidad condicional para calcular intersecciones

C贸mo utilizar la probabilidad condicional para calcular intersecciones

La probabilidad condicional de un evento es la probabilidad de que ocurra un evento A dado que ya ha ocurrido otro evento B. Este tipo de probabilidad se calcula mediante la restricci贸n del espacio muestral que estamos trabajando con s贸lo el conjunto B .

La f贸rmula para la probabilidad condicional se puede reescribir usando algo de 谩lgebra b谩sica. En lugar de la f贸rmula:

P (A | B) = P (A 鈭 B) / P (B),

multiplicamos ambos lados por P (B) y obtenemos la f贸rmula equivalente:

P (A | B) x P (B) = P (A 鈭 B).

Luego podemos usar esta f贸rmula para encontrar la probabilidad de que ocurran dos eventos usando la probabilidad condicional.

Uso de f贸rmula

Esta versi贸n de la f贸rmula es m谩s 煤til cuando se conoce la probabilidad condicional de A dado B , as铆 como la probabilidad de que el evento B . Si este es el caso, entonces podemos calcular la probabilidad de la intersecci贸n de A dado B simplemente multiplicando otras dos probabilidades. La probabilidad de la intersecci贸n de dos eventos es un n煤mero importante porque es la probabilidad de que ocurran ambos eventos.

Ejemplos

Para nuestro primer ejemplo, suponga que conocemos los siguientes valores de probabilidades: P (A | B) = 0.8 y P (B) = 0.5. La probabilidad P (A 鈭 B) = 0.8 x 0.5 = 0.4.

Si bien el ejemplo anterior muestra c贸mo funciona la f贸rmula, puede que no sea el m谩s esclarecedor en cuanto a cu谩n 煤til es la f贸rmula anterior. Entonces consideraremos otro ejemplo. Hay una escuela secundaria con 400 estudiantes, de los cuales 120 son hombres y 280 mujeres. De los hombres, el 60% est谩 actualmente matriculado en un curso de matem谩ticas. De las mujeres, el 80% est谩 actualmente matriculado en un curso de matem谩ticas. 驴Cu谩l es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea una mujer matriculada en un curso de matem谩ticas?

Aqu铆 dejamos que F denote el evento "El estudiante seleccionado es una mujer" y M el evento "El estudiante seleccionado est谩 inscrito en un curso de matem谩ticas". Necesitamos determinar la probabilidad de la intersecci贸n de estos dos eventos, o P (M 鈭 F) .

La f贸rmula anterior nos muestra que P (M 鈭 F) = P (M | F) x P (F) . La probabilidad de que se seleccione una mujer es P (F) = 280/400 = 70%. La probabilidad condicional de que el alumno seleccionado est茅 matriculado en un curso de matem谩ticas, dado que se ha seleccionado una mujer, es P (M | F) = 80%. Multiplicamos estas probabilidades juntas y vemos que tenemos un 80% x 70% = 56% de probabilidad de seleccionar una estudiante que est茅 matriculada en un curso de matem谩ticas.

Prueba de independencia

La f贸rmula anterior que relaciona la probabilidad condicional y la probabilidad de intersecci贸n nos da una manera f谩cil de saber si estamos tratando con dos eventos independientes. Dado que los eventos A y B son independientes si P (A | B) = P (A) , de la f贸rmula anterior se deduce que los eventos A y B son independientes si y solo si:

P (A) x P (B) = P (A 鈭 B)

Entonces, si sabemos que P (A) = 0.5, P (B) = 0.6 y P (A 鈭 B) = 0.2, sin saber nada m谩s podemos determinar que estos eventos no son independientes. Sabemos esto porque P (A) x P (B) = 0.5 x 0.6 = 0.3. Esta no es la probabilidad de la intersecci贸n de A y B .



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