Comprender las ecuaciones equivalentes en álgebra

Las ecuaciones equivalentes son sistemas de ecuaciones que tienen las mismas soluciones. identificar y resolver ecuaciones equivalentes es una habilidad valiosa, no solo en la clase de álgebra , sino también en la vida cotidiana. Eche un vistazo a ejemplos de ecuaciones equivalentes, cómo resolverlas para una o más variables y cómo podría usar esta habilidad fuera del aula.

Los ejemplos más simples de ecuaciones equivalentes no tienen ninguna variable. Por ejemplo, estas tres ecuaciones son equivalentes entre sí:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

reconocer que estas ecuaciones son equivalentes es genial, pero no particularmente útil. por lo general, un problema de ecuación equivalente le pide que resuelva una variable para ver si es la misma (la misma raíz ) que la de otra ecuación.

por ejemplo, las siguientes ecuaciones son equivalentes:

• x = 5
• -2x = -10

en ambos casos, x = 5. ¿cómo sabemos esto? ¿Cómo se resuelve esto para la ecuación "-2x = -10"? El primer paso es conocer las reglas de ecuaciones equivalentes:

• Sumar o restar el mismo número o expresión a ambos lados de una ecuación produce una ecuación equivalente.
• multiplicando o dividiendo ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero produce una ecuación equivalente.
• elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia impar o tomar la misma raíz impar producirá una ecuación equivalente.
• Si ambos lados de una ecuación no son negativos , elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia par o tomar la misma raíz par dará una ecuación equivalente.

Poniendo en práctica estas reglas, determine si estas dos ecuaciones son equivalentes:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

para resolver esto, necesitas encontrar "x" para cada ecuación . si "x" es igual para ambas ecuaciones, entonces son equivalentes. si "x" es diferente (es decir, las ecuaciones tienen raíces diferentes), entonces las ecuaciones no son equivalentes. para la primera ecuación:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (restando ambos lados por el mismo número)
• x = 5

para la segunda ecuación:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (restando ambos lados por el mismo número)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dividiendo ambos lados de la ecuación por el mismo número)
• x = 5

entonces, sí, las dos ecuaciones son equivalentes porque x = 5 en cada caso.

Puedes usar ecuaciones equivalentes en la vida diaria. Es particularmente útil cuando compras. por ejemplo, te gusta una camisa en particular. una compañía ofrece la camisa por $ 6 y tiene un envío de $ 12, mientras que otra compañía ofrece la camisa por $ 7.50 y tiene un envío de $ 9. ¿Qué camisa tiene el mejor precio? ¿Cuántas camisas (tal vez quieras comprar para tus amigos) tendrías que comprar para que el precio sea el mismo para ambas compañías?

Para resolver este problema, deje que "x" sea el número de camisas. para comenzar, establezca x = 1 para la compra de una camisa. para la empresa n. ° 1:

• precio = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = $ 18

para la empresa # 2:

• precio = 7.5x + 9 = (1) (7.5) + 9 = 7.5 + 9 = $ 16.50

entonces, si está comprando una camisa, la segunda compañía ofrece una mejor oferta.

Para encontrar el punto donde los precios son iguales, deje que "x" siga siendo el número de camisas, pero establezca las dos ecuaciones iguales entre sí. Resuelve "x" para encontrar cuántas camisas deberías comprar:

• 6x + 12 = 7.5x + 9
• 6x - 7.5x = 9 - 12 ( restando los mismos números o expresiones de cada lado)
• -1.5x = -3
• 1.5x = 3 (dividiendo ambos lados por el mismo número, -1)
• x = 3 / 1.5 (dividiendo ambos lados por 1.5)
• x = 2

Si compra dos camisas, el precio es el mismo, sin importar dónde lo obtenga. puede usar las mismas matemáticas para determinar qué compañía le ofrece un mejor trato con pedidos más grandes y también para calcular cuánto ahorrará usando una compañía sobre la otra. mira, el álgebra es útil!

Si tiene dos ecuaciones y dos incógnitas (x e y), puede determinar si dos conjuntos de ecuaciones lineales son equivalentes.

por ejemplo, si te dan las ecuaciones:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

puede determinar si el siguiente sistema es equivalente:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Para resolver este problema , encuentre "x" e "y" para cada sistema de ecuaciones. Si los valores son los mismos, los sistemas de ecuaciones son equivalentes.

Comience con el primer set. Para resolver dos ecuaciones con dos variables , aísle una variable y conecte su solución a la otra ecuación. para aislar la variable "y":

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12 años
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (conecte para "x" en la segunda ecuación)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

ahora, vuelva a enchufar "y" en cualquiera de las ecuaciones para resolver "x":

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

trabajando a través de esto, eventualmente obtendrás x = 7/3.

Para responder a la pregunta, podría aplicar los mismos principios al segundo conjunto de ecuaciones para resolver "x" e "y" para encontrar que sí, de hecho son equivalentes. es fácil empantanarse en el álgebra, por lo que es una buena idea verificar su trabajo utilizando un solucionador de ecuaciones en línea .

sin embargo, el estudiante inteligente notará que los dos conjuntos de ecuaciones son equivalentes sin hacer ningún cálculo difícil. La única diferencia entre la primera ecuación en cada conjunto es que la primera es tres veces la segunda (equivalente). La segunda ecuación es exactamente la misma.