Cada estudiante de álgebra en niveles más altos necesita aprender a resolver ecuaciones cuadráticas. estos son un tipo de ecuación polinomial que incluye una potencia de 2 pero ninguna superior, y tienen la forma general: ax 2 + bx + c = 0. puede resolverlos usando la fórmula de ecuación cuadrática, factorizando o completando el cuadrado.
Usando la factorización para resolver la ecuación.
La factorización explota el hecho de que el lado derecho de la ecuación cuadrática estándar es igual a cero. esto significa que si puede dividir la ecuación en dos términos entre paréntesis multiplicados entre sí, puede encontrar las soluciones pensando en qué haría que cada corchete sea igual a cero. Para dar un ejemplo concreto:
x 2 + 6_x_ + 9 = 0
Compara esto con la forma estándar:
hacha 2 + bx + c = 0
en el ejemplo, a = 1, b = 6 yc = 9. el desafío de factorizar es encontrar dos números que se suman para dar el número en el punto b y se multiplican para obtener el número en el lugar para c .
entonces, al representar los números por d y e , está buscando números que satisfagan:
d + e = b
o en este caso, con b = 6:
d + e = 6
y
d × e = c
o en este caso, con c = 9:
d × e = 9
concéntrese en encontrar números que sean factores de c , y luego súmelos para ver si son iguales a b . cuando tengas tus números, ponlos en el siguiente formato:
( x + d ) ( x + e )
en el ejemplo anterior, d y e son 3:
x 2 + 6_x_ + 9 = ( x + 3) ( x + 3) = 0
si multiplica los corchetes, terminará con la expresión original nuevamente, y esta es una buena práctica para verificar su factorización. puede ejecutar este proceso (al multiplicar las partes primera, interna, externa y luego la última de los corchetes, consulte los recursos para obtener más detalles) para verlos al revés:
( x + 3) ( x + 3) = ( x × x ) + (3 × x ) + ( x × 3) + (3 × 3)
= x 2 + 3_x_ + 3_x_ + 9
= x 2 + 6_x_ + 9
la factorización se ejecuta de manera efectiva a través de este proceso a la inversa, pero puede ser difícil encontrar la manera correcta de factorizar la ecuación cuadrática, y este método no es ideal para todas las ecuaciones cuadráticas por esta razón. A menudo hay que adivinar una factorización y luego verificarla.
el problema ahora es hacer que cualquiera de las expresiones entre paréntesis salga igual a cero a través de su elección de valor para x . si cualquiera de los corchetes es igual a cero, toda la ecuación es igual a cero y has encontrado una solución. mire la última etapa [( x + 3) ( x + 3) = 0] y verá que la única vez que los corchetes salen a cero es si x = −3. En la mayoría de los casos, sin embargo, las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones.
la factorización es aún más desafiante si a no es igual a uno, pero al principio es mejor enfocarse en casos simples.
Completando el cuadrado para resolver la ecuación.
completar el cuadrado te ayuda a resolver ecuaciones cuadráticas que no pueden ser fácilmente factorizadas. este método puede funcionar para cualquier ecuación cuadrática, pero algunas ecuaciones son más adecuadas que otras. el enfoque implica convertir la expresión en un cuadrado perfecto y resolver eso. un cuadrado perfecto genérico se expande así:
( x + d ) 2 = x 2 + 2_dx_ + d 2
para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, obtenga la expresión en la forma en el lado derecho de la anterior. primero divide el número en la posición b por 2, y luego ajusta el resultado. así que para la ecuación:
x 2 + 8_x_ = 0
el coeficiente b = 8, entonces b ÷ 2 = 4 y ( b ÷ 2) 2 = 16.
Agrega a ambos lados para obtener:
x 2 + 8_x_ + 16 = 16
tenga en cuenta que esta forma coincide con la forma cuadrada perfecta, con d = 4, entonces 2_d_ = 8 y d 2 = 16. esto significa que:
x 2 + 8_x_ + 16 = ( x + 4) 2
inserta esto en la ecuación anterior para obtener:
( x + 4) 2 = 16
Ahora resuelve la ecuación para x . saca la raíz cuadrada de ambos lados para obtener:
x + 4 = √16
Resta 4 de ambos lados para obtener:
x = √ (16) - 4
La raíz puede ser positiva o negativa, y tomar la raíz negativa da:
x = −4 - 4 = −8
Encuentra la otra solución con la raíz positiva:
x = 4 - 4 = 0
por lo tanto, la única solución distinta de cero es −8. Comprueba esto con la expresión original para confirmar.
Usando la fórmula cuadrática para resolver la ecuación.
La fórmula de la ecuación cuadrática parece más complicada que los otros métodos, pero es el método más confiable, y puede usarla en cualquier ecuación cuadrática. la ecuación usa los símbolos de la ecuación cuadrática estándar:
hacha 2 + bx + c = 0
y declara que:
x = [- b ± √ ( b 2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_
inserte los números apropiados en sus lugares y trabaje a través de la fórmula para resolver, recuerde intentar restar y sumar el término de la raíz cuadrada y anotar ambas respuestas. para el siguiente ejemplo:
x 2 + 6_x_ + 5 = 0
tienes a = 1, b = 6 y c = 5. así que la fórmula da:
x = [−6 ± √ (6 2 - 4 × 1 × 5)] ÷ 2 × 1
= [−6 ± √ (36 - 20)] ÷ 2
= [−6 ± √ (16)] ÷ 2
= (−6 ± 4) ÷ 2
Tomando el signo positivo da:
x = (−6 + 4) ÷ 2
= −2 ÷ 2 = −1
y tomando el signo negativo da:
x = (−6 - 4) ÷ 2
= −10 ÷ 2 = −5
Cuales son las dos soluciones para la ecuación.
Cómo determinar el mejor método para resolver ecuaciones cuadráticas.
Busca una factorización antes de intentar cualquier otra cosa. Si puede detectar uno, esta es la forma más rápida y fácil de resolver una ecuación cuadrática. recuerda que estás buscando dos números que suman el coeficiente b y se multiplican para dar el coeficiente c . para esta ecuación:
x 2 + 5_x_ + 6 = 0
puedes detectar que 2 + 3 = 5 y 2 × 3 = 6, entonces:
x 2 + 5_x_ + 6 = ( x + 2) ( x + 3) = 0
y x = −2 o x = −3.
if you can’t see a factorization, check to see if the b coefficient is divisible by 2 without resorting to fractions. if it is, completing the square is probably the easiest way to solve the equation.
if neither approach seems suitable, use the formula. this seems like the hardest approach, but if you’re in an exam or otherwise pushed for time, it can make the process a lot less stressful and much faster.