La teoría de números es una rama de las matemáticas que se ocupa del conjunto de números enteros. Nos restringimos un poco al hacer esto, ya que no estudiamos directamente otros números, como los irracionales. Sin embargo, se utilizan otros tipos de números reales . Además de esto, el tema de la probabilidad tiene muchas conexiones e intersecciones con la teoría de números. Una de estas conexiones tiene que ver con la distribución de números primos. Más específicamente, podemos preguntarnos, ¿cuál es la probabilidad de que un número entero elegido al azar de 1 a x sea un número primo?
Supuestos y definiciones
Al igual que con cualquier problema matemático, es importante comprender no solo qué suposiciones se están haciendo, sino también las definiciones de todos los términos clave del problema. Para este problema, estamos considerando los números enteros positivos, es decir, los números enteros 1, 2, 3,. . . hasta cierto número x . Estamos eligiendo aleatoriamente uno de estos números, lo que significa que es igualmente probable que se elijan todos los x .
Estamos tratando de determinar la probabilidad de que se elija un número primo. Por tanto, necesitamos comprender la definición de número primo. Un número primo es un número entero positivo que tiene exactamente dos factores. Esto significa que los únicos divisores de números primos son uno y el número en sí. Entonces 2, 3 y 5 son primos, pero 4, 8 y 12 no son primos. Observamos que debido a que debe haber dos factores en un número primo, el número 1 no es primo.
Solución para números bajos
La solución a este problema es sencilla para números bajos x . Todo lo que necesitamos hacer es simplemente contar el número de primos que son menores o iguales que x . Dividimos el número de primos menores o iguales ax por el número x .
Por ejemplo, para encontrar la probabilidad de que un primo se seleccione de 1 a 10 requiere que dividamos el número de primos de 1 a 10 entre 10. Los números 2, 3, 5, 7 son primos, por lo que la probabilidad de que un primo sea seleccionado es 4/10 = 40%.
La probabilidad de que se seleccione un primo de 1 a 50 se puede encontrar de manera similar. Los números primos menores que 50 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47. Hay 15 primos menores o iguales que 50. Por tanto, la probabilidad de que se seleccione un número primo al azar es 15/50 = 30%.
Este proceso se puede llevar a cabo simplemente contando los primos siempre que tengamos una lista de primos. Por ejemplo, hay 25 números primos menores o iguales que 100 (por lo tanto, la probabilidad de que un número elegido al azar del 1 al 100 sea primo es 25/100 = 25%). Sin embargo, si no tenemos una lista de números primos, Podría resultar desalentador desde el punto de vista computacional determinar el conjunto de números primos que son menores o iguales a un número x dado .
El teorema de los números primos
Si no tiene un recuento del número de primos que son menores o iguales que x , entonces existe una forma alternativa de resolver este problema. La solución implica un resultado matemático conocido como teorema de los números primos. Esta es una declaración sobre la distribución general de los números primos y puede usarse para aproximar la probabilidad que estamos tratando de determinar.
El teorema de los números primos establece que hay aproximadamente x / ln ( x ) números primos que son menores o iguales que x . Aquí ln ( x ) denota el logaritmo natural de x , o en otras palabras, el logaritmo con una base del número e . A medida que aumenta el valor de x, la aproximación mejora, en el sentido de que vemos una disminución en el error relativo entre el número de primos menores que x y la expresión x / ln ( x ).
Aplicación del teorema de los números primos
Podemos usar el resultado del teorema de los números primos para resolver el problema que estamos tratando de abordar. Sabemos por el teorema de los números primos que hay aproximadamente x / ln ( x ) números primos que son menores o iguales que x . Además, hay un total de x números enteros positivos menores o iguales ax . Por lo tanto, la probabilidad de que un número seleccionado al azar en este rango sea primo es ( x / ln ( x )) / x = 1 / ln ( x ).
Ejemplo
Ahora podemos usar este resultado para aproximar la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un número primo de los primeros mil millones de enteros. Calculamos el logaritmo natural de mil millones y vemos que ln (1,000,000,000) es aproximadamente 20.7 y 1 / ln (1,000,000,000) es aproximadamente 0.0483. Por lo tanto, tenemos aproximadamente un 4.83% de probabilidad de elegir aleatoriamente un número primo entre los primeros mil millones de enteros.