Yahtzee es un juego de dados que utiliza cinco dados estándar de seis caras. En cada turno, los jugadores reciben tres tiradas para obtener varios objetivos diferentes. Después de cada tirada, un jugador puede decidir cuál de los dados (si hay alguno) se conservará y cuál se volverá a tirar. Los objetivos incluyen una variedad de diferentes tipos de combinaciones, muchas de las cuales se toman del póquer. Cada tipo diferente de combinación vale una cantidad diferente de puntos.
Dos de los tipos de combinaciones que los jugadores deben sacar se llaman rectas : una escalera pequeña y una escalera grande. Al igual que las escaleras de póquer, estas combinaciones consisten en dados secuenciales. Las rectas pequeñas emplean cuatro de los cinco dados y las rectas grandes utilizan los cinco dados. Debido a la aleatoriedad del lanzamiento de los dados, la probabilidad se puede utilizar para analizar la probabilidad de que se saque una gran escalera en un solo lanzamiento.
Supuestos
Suponemos que los dados utilizados son justos e independientes entre sí. Por tanto, existe un espacio muestral uniforme que consta de todos los posibles lanzamientos de los cinco dados. Aunque Yahtzee permite tres rollos, por simplicidad solo consideraremos el caso de que obtengamos una gran escalera en un solo rollo.
Espacio muestral
Como estamos trabajando con un espacio muestral uniforme , el cálculo de nuestra probabilidad se convierte en un cálculo de un par de problemas de conteo. La probabilidad de una escalera es la cantidad de formas de sacar una escalera dividida por la cantidad de resultados en el espacio muestral.
Es muy fácil contar el número de resultados en el espacio muestral. Estamos tirando cinco dados y cada uno de estos dados puede tener uno de seis resultados diferentes. Una aplicación básica del principio de multiplicación nos dice que el espacio muestral tiene 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 5 = 7776 resultados. Este número será el denominador de todas las fracciones que usamos para nuestras probabilidades.
Número de rectas
A continuación, necesitamos saber cuántas formas hay de sacar una recta grande. Esto es más difícil que calcular el tamaño del espacio muestral. La razón por la que esto es más difícil es porque hay más sutileza en cómo contamos.
Una recta grande es más difícil de rodar que una recta pequeña, pero es más fácil contar la cantidad de formas de rodar una recta grande que la cantidad de formas de rodar una recta pequeña. Este tipo de escalera consta de cinco números secuenciales. Dado que solo hay seis números diferentes en los dados, solo hay dos posibles rectas grandes: {1, 2, 3, 4, 5} y {2, 3, 4, 5, 6}.
Ahora determinamos las diferentes formas de lanzar un determinado juego de dados que nos dan una escalera. Para una escalera grande con los dados {1, 2, 3, 4, 5} podemos tener los dados en cualquier orden. Entonces, las siguientes son diferentes formas de rodar la misma recta:
- 1, 2, 3, 4, 5
- 5, 4, 3, 2, 1
- 1, 3, 5, 2, 4
Sería tedioso enumerar todas las formas posibles de obtener un 1, 2, 3, 4 y 5. Como solo necesitamos saber cuántas formas hay de hacerlo, podemos utilizar algunas técnicas básicas de conteo. Observamos que todo lo que estamos haciendo es permutar los cinco dados. ¡Hay 5! = 120 formas de hacer esto. Dado que hay dos combinaciones de dados para hacer una gran escalera y 120 formas de tirar cada una de estas, hay 2 x 120 = 240 formas de tirar una gran escalera.
Probabilidad
Ahora, la probabilidad de sacar una gran escalera es un simple cálculo de división. Dado que hay 240 formas de tirar una escalera grande en una sola tirada y hay 7776 tiradas de cinco dados posibles, la probabilidad de tirar una escalera grande es 240/7776, que está cerca de 1/32 y 3,1%.
Por supuesto, lo más probable es que el primer lanzamiento no sea una escalera. Si este es el caso, entonces se nos permiten dos tiradas más para hacer una escalera mucho más probable. La probabilidad de que esto ocurra es mucho más complicada de determinar debido a todas las situaciones posibles que deberían considerarse.