Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes , la probabilidad de su unión se puede calcular con la regla de la suma . Sabemos que para lanzar un dado, lanzar un número mayor que cuatro o un número menor que tres son eventos mutuamente excluyentes, sin nada en común. Entonces, para encontrar la probabilidad de este evento, simplemente sumamos la probabilidad de que saquemos un número mayor que cuatro a la probabilidad de que saquemos un número menor que tres. En símbolos, tenemos lo siguiente, donde la P mayúscula denota "probabilidad de":
P (más de cuatro o menos de tres) = P (más de cuatro) + P (menos de tres) = 2/6 + 2/6 = 4/6.
Si los eventos no son mutuamente excluyentes, entonces no simplemente sumamos las probabilidades de los eventos, sino que necesitamos restar la probabilidad de la intersección de los eventos. Dados los eventos A y B :
P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B ).
Aquí damos cuenta de la posibilidad de contar dos veces aquellos elementos que están tanto en A como en B , y es por eso que restamos la probabilidad de la intersección.
La pregunta que surge de esto es, “¿Por qué detenerse con dos conjuntos? ¿Cuál es la probabilidad de unión de más de dos conjuntos? ”
Fórmula para unión de 3 juegos
Vamos a ampliar las ideas anteriores a la situación en la que tenemos tres conjuntos, que denotaremos A , B , y C . No asumiremos nada más que esto, por lo que existe la posibilidad de que los conjuntos tengan una intersección no vacía. El objetivo será calcular la probabilidad de unión de estos tres conjuntos, o P ( A U B U C ).
La discusión anterior para dos conjuntos aún se mantiene. Podemos sumar las probabilidades de los conjuntos individuales A , B y C , pero al hacerlo, contamos dos veces algunos elementos.
Los elementos en la intersección de A y B se han contado dos veces como antes, pero ahora hay otros elementos que potencialmente se han contado dos veces. Los elementos en la intersección de A y C y en la intersección de B y C ahora también se han contado dos veces. Entonces, las probabilidades de estas intersecciones también deben restarse.
¿Pero hemos restado demasiado? Hay algo nuevo que considerar por lo que no teníamos que preocuparnos cuando solo había dos conjuntos. Así como dos conjuntos pueden tener una intersección, los tres conjuntos también pueden tener una intersección. Al tratar de asegurarnos de que no contamos dos veces nada, no hemos contado todos los elementos que aparecen en los tres conjuntos. Entonces, la probabilidad de la intersección de los tres conjuntos debe agregarse nuevamente.
Aquí está la fórmula que se deriva de la discusión anterior:
P ( A U B U C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )
Ejemplo que incluye 2 dados
Para ver la fórmula de la probabilidad de la unión de tres conjuntos, suponga que estamos jugando un juego de mesa que implica lanzar dos dados . Debido a las reglas del juego, necesitamos que al menos uno de los dados sea un dos, tres o cuatro para ganar. ¿Cuál es la probabilidad de esto? Observamos que estamos tratando de calcular la probabilidad de la unión de tres eventos: sacar al menos uno dos, sacar al menos un tres, sacar al menos un cuatro. Entonces podemos usar la fórmula anterior con las siguientes probabilidades:
- La probabilidad de sacar un dos es 11/36. El numerador aquí proviene del hecho de que hay seis resultados en los que el primer dado es un dos, seis en el que el segundo dado es un dos y un resultado en el que ambos dados son dos. Esto nos da 6 + 6 - 1 = 11.
- La probabilidad de sacar un tres es 11/36, por la misma razón que la anterior.
- La probabilidad de sacar un cuatro es 11/36, por la misma razón que la anterior.
- La probabilidad de sacar un dos y un tres es 2/36. Aquí simplemente podemos enumerar las posibilidades, las dos podrían ir primero o podrían ir en segundo lugar.
- La probabilidad de sacar un dos y un cuatro es 2/36, por la misma razón que la probabilidad de un dos y un tres es 2/36.
- La probabilidad de sacar un dos, tres y un cuatro es 0 porque solo estamos tirando dos dados y no hay forma de obtener tres números con dos dados.
Ahora usamos la fórmula y vemos que la probabilidad de obtener al menos un dos, un tres o un cuatro es
11/36 + 11/36 + 11/36 - 2/36 - 2/36 - 2/36 + 0 = 27/36.
Fórmula para la probabilidad de unión de 4 conjuntos
La razón por la que la fórmula para la probabilidad de la unión de cuatro conjuntos tiene su forma es similar al razonamiento de la fórmula para tres conjuntos. A medida que aumenta el número de conjuntos, también aumenta el número de pares, triples, etc. Con cuatro conjuntos, hay seis intersecciones por pares que deben restarse, cuatro intersecciones triples para volver a agregar y ahora una intersección cuádruple que debe restarse. Dados cuatro conjuntos A , B , C y D , la fórmula para la unión de estos conjuntos es la siguiente:
P ( A U B U C U D ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) + P ( D ) - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( A ∩ D ) - P ( B ∩ C ) - P ( B ∩ D ) - P (C ∩ D ) + P ( A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ D ) + P ( A ∩ C ∩ D ) + P ( B ∩ C ∩ D ) - P ( A ∩ B ∩ C ∩ D ).
Patrón general
Podríamos escribir fórmulas (que parecerían incluso más aterradoras que la anterior) para la probabilidad de la unión de más de cuatro conjuntos, pero al estudiar las fórmulas anteriores deberíamos notar algunos patrones. Estos patrones son válidos para calcular uniones de más de cuatro conjuntos. La probabilidad de unión de cualquier número de conjuntos se puede encontrar de la siguiente manera:
- Sume las probabilidades de los eventos individuales.
- Resta las probabilidades de las intersecciones de cada par de eventos.
- Sume las probabilidades de intersección de cada conjunto de tres eventos.
- Resta las probabilidades de la intersección de cada conjunto de cuatro eventos.
- Continúe este proceso hasta que la última probabilidad sea la probabilidad de la intersección del número total de conjuntos con los que comenzamos.