La estadística matemática a veces requiere el uso de la teoría de conjuntos. Las leyes de Morgan son dos declaraciones que describen las interacciones entre varias operaciones de teoría de conjuntos. las leyes son que para dos conjuntos de una y b :
- ( a ∩ b ) c = a c u b c .
- ( a u b ) c = a c ∩ b c .
Después de explicar lo que significa cada una de estas afirmaciones, veremos un ejemplo de cada una de estas en uso.
operaciones de teoría de conjuntos
Para entender lo que dicen las leyes de Morgan, debemos recordar algunas definiciones de operaciones de teoría de conjuntos. específicamente, debemos saber sobre la unión e intersección de dos conjuntos y el complemento de un conjunto.
Las leyes de Morgan se relacionan con la interacción de la unión, la intersección y el complemento. recordar que:
- la intersección de los conjuntos de una y b se compone de todos los elementos que son comunes a ambos una y b . la intersección se denota por a ∩ b .
- la unión de los conjuntos una y b consta de todos los elementos que, ya sea en una o b , incluyendo los elementos de ambos conjuntos. la intersección se denota por au b.
- El complemento del conjunto a consta de todos los elementos que no son elementos de a . este complemento se denota con una c .
ahora que hemos recordado estas operaciones elementales, veremos la declaración de las leyes de de morgan. para cada par de conjuntos de una y B tenemos:
- ( a ∩ b ) c = a c u b c
- ( a u b ) c = a c ∩ b c
Estas dos afirmaciones pueden ilustrarse mediante el uso de diagramas de Venn. como se ve a continuación, podemos demostrarlo usando un ejemplo. Para demostrar que estas afirmaciones son verdaderas, debemos probarlas utilizando definiciones de operaciones de teoría de conjuntos.
ejemplo de las leyes de morgan
por ejemplo, considere el conjunto de números reales del 0 al 5. escribimos esto en notación de intervalo [0, 5]. dentro de este conjunto tenemos a = [1, 3] yb = [2, 4]. Además, después de aplicar nuestras operaciones elementales tenemos:
- el complemento a c = [0, 1) u (3, 5]
- el complemento b c = [0, 2) u (4, 5]
- la unión a u b = [1, 4]
- la intersección a ∩ b = [2, 3]
comenzamos calculando la unión a c u b c . vemos que la unión de [0, 1) u (3, 5] con [0, 2) u (4, 5] es [0, 2) u (3, 5]. la intersección a ∩ b es [2 , 3]. Vemos que el complemento de este conjunto [2, 3] es también [0, 2) u (3, 5]. De esta manera hemos demostrado que a c u b c = ( a ∩ b ) c .
ahora vemos la intersección de [0, 1) u (3, 5] con [0, 2) u (4, 5] es [0, 1) u (4, 5]. También vemos que el complemento de [ 1, 4] también es [0, 1) u (4, 5]. De esta manera, hemos demostrado que a c ∩ b c = ( a u b ) c .
nomenclatura de las leyes de morgan
A lo largo de la historia de la lógica, personas como Aristóteles y William de Ockham han hecho declaraciones equivalentes a las leyes de Morgan.
Las leyes de de Morgan llevan el nombre de Augusto de Morgan, que vivió entre 1806 y 1871. aunque no descubrió estas leyes, fue el primero en introducir estas declaraciones usando formalmente una formulación matemática en lógica proposicional.