La variaci贸n de la poblaci贸n da una indicaci贸n de c贸mo distribuir un conjunto de datos. desafortunadamente, generalmente es imposible saber exactamente qu茅 es este par谩metro de poblaci贸n. Para compensar nuestra falta de conocimiento, utilizamos un tema de estad铆sticas inferenciales llamado intervalos de confianza . veremos un ejemplo de c贸mo calcular un intervalo de confianza para una varianza poblacional.
f贸rmula de intervalo de confianza
La f贸rmula para el intervalo de confianza (1 - 伪) sobre la varianza de la poblaci贸n . est谩 dado por la siguiente cadena de desigualdades:
[( n - 1) s 2 ] / b <蟽 2 <[( n - 1) s 2 ] / a .
aqu铆 n es el tama帽o de la muestra, s 2 es la varianza de la muestra. el n煤mero a es el punto de la distribuci贸n de chi-cuadrado con n -1 grados de libertad en el que exactamente 伪 / 2 del 谩rea debajo de la curva est谩 a la izquierda de a . de manera similar, el n煤mero b es el punto de la misma distribuci贸n de chi-cuadrado con exactamente 伪 / 2 del 谩rea debajo de la curva a la derecha de b .
preliminares
comenzamos con un conjunto de datos con 10 valores. Este conjunto de valores de datos se obtuvo mediante una muestra aleatoria simple:
97, 75, 124, 106, 120, 131, 94, 97,96, 102
se necesitar铆a un an谩lisis exploratorio de datos para mostrar que no hay valores at铆picos. Al construir un diagrama de tallo y hoja, vemos que estos datos probablemente provienen de una distribuci贸n que se distribuye aproximadamente de manera normal. Esto significa que podemos proceder a encontrar un intervalo de confianza del 95% para la varianza de la poblaci贸n.
varianza muestra
necesitamos estimar la varianza de la poblaci贸n con la varianza de la muestra, denotada por s 2 . entonces comenzamos calculando esta estad铆stica. esencialmente estamos promediando la suma de las desviaciones al cuadrado de la media. sin embargo, en lugar de dividir esta suma por n , la dividimos por n - 1.
encontramos que la media muestral es 104.2. usando esto, tenemos la suma de las desviaciones al cuadrado de la media dada por:
(97 - 104.2) 2 + (75 - 104.3) 2 +. . . + (96 - 104.2) 2 + (102 - 104.2) 2 = 2495.6
dividimos esta suma por 10 - 1 = 9 para obtener una varianza muestral de 277.
distribuci贸n de chi-cuadrado
ahora pasamos a nuestra distribuci贸n de chi-cuadrado. Como tenemos 10 valores de datos, tenemos 9 grados de libertad . Como queremos el 95% medio de nuestra distribuci贸n, necesitamos un 2.5% en cada una de las dos colas. consultamos una tabla de chi-cuadrado o software y vemos que los valores de la tabla de 2.7004 y 19.023 encierran el 95% del 谩rea de distribuci贸n. estos n煤meros son a y b , respectivamente.
ahora tenemos todo lo que necesitamos y estamos listos para armar nuestro intervalo de confianza. la f贸rmula para el punto final izquierdo es [( n - 1) s 2 ] / b . Esto significa que nuestro punto final izquierdo es:
(9 x 277) /19.023 = 133
el punto final correcto se encuentra reemplazando b con a :
(9 x 277) /2.7004 = 923
Por lo tanto, estamos 95% seguros de que la variaci贸n de la poblaci贸n se encuentra entre 133 y 923.
desviaci贸n est谩ndar de poblaci贸n
por supuesto, dado que la desviaci贸n est谩ndar es la ra铆z cuadrada de la varianza, este m茅todo podr铆a usarse para construir un intervalo de confianza para la desviaci贸n est谩ndar de la poblaci贸n. todo lo que tendr铆amos que hacer es tomar ra铆ces cuadradas de los puntos finales. el resultado ser铆a un intervalo de confianza del 95% para la desviaci贸n est谩ndar .