Ejemplos de relaciones inversas en matemáticas

Puedes ver las relaciones inversas en matemáticas de tres maneras. La primera forma es considerar las operaciones que se anulan entre sí. la suma y la resta son las dos operaciones más obvias que se comportan de esta manera.

una segunda forma de ver las relaciones inversas es considerar el tipo de curvas que producen cuando graficas relaciones entre dos variables. Si la relación entre las variables es directa, entonces la variable dependiente aumenta cuando aumenta la variable independiente, y la gráfica se curva hacia valores crecientes de ambas variables. sin embargo, si la relación es inversa, la variable dependiente se vuelve más pequeña cuando aumenta la independiente, y la gráfica se curva hacia valores más pequeños de la variable dependiente.

ciertos pares de funciones proporcionan un tercer ejemplo de relaciones inversas. Cuando grafica funciones que son inversas entre sí en un eje xy, las curvas aparecen como imágenes de espejo entre sí con respecto a la línea x = y.

la adición es la más básica de las operaciones aritméticas, y viene con una doble resta malvada que puede deshacer lo que hace. digamos que empiezas con 5 y sumas 7. obtienes 12, pero si restas 7, te quedarán los 5 con los que comenzaste. lo inverso de la suma es la resta, y el resultado neto de sumar y restar el mismo número es equivalente a sumar 0.

Existe una relación inversa similar entre la multiplicación y la división, pero hay una diferencia importante. El resultado neto de multiplicar y dividir un número por el mismo factor es multiplicar el número por 1, lo que no cambia. esta relación inversa es útil cuando se simplifican expresiones algebraicas complejas y se resuelven ecuaciones.

otro par de operaciones matemáticas inversas es elevar un número a un exponente "n" y tomar la enésima raíz del número. La relación cuadrada es la más fácil de considerar. si cuadras 2, obtienes 4, y si tomas la raíz cuadrada de 4, obtienes 2. esta relación inversa también es útil para recordar cuando resuelves ecuaciones complejas.

una función es una regla que produce un resultado, y solo uno, para cada número que ingresa. el conjunto de números que ingresa se denomina dominio de la función, y el conjunto de resultados que produce la función es el rango. Si la función es directa, una secuencia de dominio de números positivos que se hacen más grandes produce una secuencia de rango de números que también se hacen más grandes. f (x) = 2x + 2, f (x) = x ² y f (x) = √x son todas funciones directas.

Una función inversa se comporta de una manera diferente. cuando los números en el dominio se hacen más grandes, los números en el rango se hacen más pequeños. f (x) = 1 / x es la forma más simple de una función inversa. a medida que x aumenta, f (x) se acerca cada vez más a 0. básicamente, cualquier función con la variable de entrada en el denominador de una fracción, y solo en el denominador, es una función inversa. otros ejemplos incluyen f (x) = n / x, donde n es cualquier número, f (x) = n / √x y f (x) = n / (x + w) donde w es un entero entero.

Un tercer ejemplo de una relación inversa en matemáticas es un par de funciones que son inversas entre sí. como ejemplo, suponga que ingresa los números 2, 3, 4 y 5 en la función y = 2x + 1. obtiene estos puntos: (2,5), (3,7), (4,9) y (5) , 11). esta es una línea recta con pendiente 2 e intersección con y 1.

ahora invierta los números entre paréntesis para crear una nueva función: (5,2), (7,3), (9,4) y (11,5). el rango de la función original se convierte en el dominio del nuevo y el dominio de la función original se convierte en el rango de la nueva función. también es una línea, pero su pendiente es 1/2 y su intersección en y es -1/2. utilizando la forma y = mx + b de una línea, encuentras que la ecuación de la línea es y = (1/2) (x - 1). Este es el inverso de la función original. se podría derivar fácilmente cambiando x e y en la función original y simplificando obtener y por sí misma a la izquierda del signo igual.