En geometría, un octágono es un polígono con ocho lados. un octágono regular tiene ocho lados iguales y ángulos iguales. El octágono regular es comúnmente reconocido por señales de alto. Un octaedro es un poliedro de ocho lados. un octaedro regular tiene ocho triángulos con bordes de igual longitud. es efectivamente dos pirámides cuadradas reunidas en sus bases.
fórmula del área del octágono
la fórmula para el área de un octágono regular con lados de longitud "a" es 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, donde "sqrt" indica la raíz cuadrada.
derivación
Un octágono se puede ver como 4 rectángulos, un cuadrado en el centro y cuatro triángulos isósceles en las esquinas.
La plaza es de área a ^ 2.
los triángulos tienen lados a, a / sqrt (2) y a / sqrt (2), según el teorema de pitágoras. por lo tanto, cada uno tiene un área de a ^ 2/4.
los rectángulos son de área a * a / sqrt (2).
la suma de estas 9 áreas es 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).
fórmula de volumen de octaedro
la fórmula para el volumen de un octaedro regular de lados "a" es un ^ 3 * sqrt (2) / 3.
derivación
el área de una pirámide de cuatro lados es el área de la base * altura / 3. el área de un octágono regular es, por lo tanto, 2 * base * altura / 3.
base = a ^ 2 trivial.
elige dos vértices adyacentes, di "f" y "c". "o" está en el centro. foc es un triángulo rectángulo isósceles con una base "a", así que oc y de tiene una longitud a / sqrt (2) según el teorema de Pitágoras. entonces altura = a / sqrt (2).
por lo que el volumen de un octaedro regular es 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
área de superficie
La superficie del octaedro regular es el área de un triángulo equilátero de lado "a" por 8 caras.
Para usar el teorema de Pitágoras, suelte una línea desde el vértice hasta la base. esto crea dos triángulos rectos, con la hipotenusa de longitud "a" y longitud de un lado "a / 2". por lo tanto, el tercer lado debe ser sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a / 2. de modo que el área de un triángulo equilátero es la altura * base / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.
con 8 lados, el área de superficie de un octaedro regular es 2 * sqrt (3) * a ^ 2.