Los fundamentos de las raíces cuadradas (ejemplos y respuestas)

las raíces cuadradas a menudo se encuentran en los problemas de matemáticas y ciencias, y cualquier estudiante necesita aprender lo básico de las raíces cuadradas para abordar estas preguntas. las raíces cuadradas preguntan "qué número, cuando se multiplica por sí mismo, da el siguiente resultado", y como tal para resolverlo, es necesario que pienses en los números de una manera ligeramente diferente. sin embargo, puede comprender fácilmente las reglas de las raíces cuadradas y responder a cualquier pregunta que las involucre, ya sea que requieran un cálculo directo o simplemente una simplificación.

las raíces cuadradas son lo opuesto a "cuadrar" un número, o multiplicarlo por sí mismo. por ejemplo, tres al cuadrado es nueve (3 ² = 9), entonces la raíz cuadrada del nueve es tres. en símbolos, esto es √9 = 3. el símbolo “√” le indica que tome la raíz cuadrada de un número, y puede encontrarlo en la mayoría de las calculadoras.

recuerda que cada número en realidad tiene dos raíces cuadradas. tres multiplicados por tres es igual a nueve, pero el negativo tres multiplicado por el negativo tres también es nueve, por lo que 3 ² = (−3) ² = 9 y √9 = ± 3, con la posición ± para "más o menos". En algunos casos, puedes ignorar las raíces cuadradas negativas de los números, pero a veces es importante recordar que cada número tiene dos raíces.

se le puede pedir que tome la "raíz cúbica" o la "cuarta raíz" de un número. la raíz cúbica es el número que, cuando se multiplica por sí mismo dos veces, es igual al número original. la cuarta raíz es el número que cuando se multiplica por sí mismo tres veces es igual al número original. Al igual que las raíces cuadradas, esto es justo lo contrario de tomar el poder de los números. entonces, 3 ³ = 27, y eso significa que la raíz cúbica de 27 es 3, o ∛27 = 3. el símbolo “” representa la raíz cúbica del número que viene después de ella. las raíces a veces también se expresan como poderes fraccionarios, por lo que √ x = x ^1/2 y ∛ x = x ^1/3 .

Una de las tareas más difíciles que puede tener que realizar con raíces cuadradas es simplificar las raíces cuadradas grandes, pero solo debe seguir algunas reglas simples para abordar estas preguntas. Puede factorizar las raíces cuadradas de la misma manera que factoriza los números ordinarios. entonces, por ejemplo, 6 = 2 × 3, entonces √6 = √2 × √3.

simplificar las raíces más grandes significa tomar la factorización paso a paso y recordar la definición de una raíz cuadrada. por ejemplo, √132 es una raíz grande, y puede ser difícil ver qué hacer. sin embargo, puedes ver fácilmente que es divisible por 2, así que puedes escribir √132 = √2 √66. sin embargo, 66 también es divisible por 2, así que puedes escribir: √2 √66 = √2 √2 √33. en este caso, una raíz cuadrada de un número multiplicado por otra raíz cuadrada solo da el número original (debido a la definición de raíz cuadrada), por lo que √132 = √2 √2 √33 = 2 √33.

en resumen, puedes simplificar las raíces cuadradas usando las siguientes reglas

√ ( a × b ) = √ a × √ b

√ a × √ a = a

Al usar las definiciones y reglas anteriores, puedes encontrar las raíces cuadradas de la mayoría de los números. Aquí hay algunos ejemplos a considerar.

esto no se puede encontrar directamente porque no es la raíz cuadrada de un número entero. Sin embargo, el uso de las reglas de simplificación da:

√8 = √2 √4 = 2√2

esto hace uso de la raíz cuadrada simple de 4, que es √4 = 2. El problema se puede resolver exactamente usando una calculadora, y √8 = 2.8284 ....

utilizando el mismo enfoque, intente calcular la raíz cuadrada de 12. divida la raíz en factores, y luego vea si puede dividirla de nuevo en factores. intente esto como un problema de práctica, y luego observe la solución a continuación:

√12 = √2√6 = √2√2√3 = 2√3

de nuevo, esta expresión simplificada se puede usar en los problemas según sea necesario, o se puede calcular exactamente utilizando una calculadora. una calculadora muestra que √12 = 2√3 = 3.4641….

La raíz cuadrada de 20 se puede encontrar de la misma manera:

√20 = √2√10 = √2√2√5 = 2√5 = 4.4721….

Finalmente, aborda la raíz cuadrada de 32 usando el mismo enfoque:

√32 = √4√8

aquí, note que ya calculamos la raíz cuadrada de 8 como 2√2, y que √4 = 2, entonces:

√32 = 2 × 2√2 = 4√2 = 5.657 ....

aunque la definición de una raíz cuadrada significa que los números negativos no deberían tener una raíz cuadrada (porque cualquier número multiplicado por sí mismo da como resultado un número positivo), los matemáticos los encontraron como parte de los problemas en el álgebra e idearon una solución. el número "imaginario" i se usa para significar "la raíz cuadrada de menos 1" y cualquier otra raíz negativa se expresa como múltiplos de i . entonces √ − 9 = √9 × i = ± 3_i_. Estos problemas son más desafiantes, pero puede aprender a resolverlos según la definición de i y las reglas estándar para las raíces.

pruebe su comprensión de las raíces cuadradas simplificando según sea necesario y luego calcule las siguientes raíces:

√50

√36

√70

√24

√27

Intenta resolver esto antes de ver las respuestas a continuación:

√50 = √2 √25 = 5√2 = 7.071

√36 = 6

√70 = √7 √10 = √7 √2 √5 = 8.637

√24 = √2 √12 = √2 √2 √6 = 2√6 = 4.899

√27 = √3 √9 = 3√3 = 5.196