Polinomios: sumar, restar, dividir y multiplicar

todos los estudiantes de matemáticas y muchos estudiantes de ciencias se encuentran con polinomios en algún momento durante sus estudios, pero afortunadamente son fáciles de manejar una vez que aprendes lo básico. Las operaciones principales que tendrá que hacer con las expresiones polinomiales son sumar, restar, multiplicar y dividir, y aunque la división puede ser compleja, la mayoría de las veces podrá manejar los conceptos básicos con facilidad.

polinomio describe una expresión algebraica con uno o más términos que involucran una variable (o más de uno), con exponentes y posiblemente constantes. no pueden incluir la división por una variable, no pueden tener exponentes negativos o fraccionarios y deben tener un número finito de términos.

este ejemplo muestra un polinomio:

x ³ + 2 x ² - 9 x - 4

y esto muestra otro:

xy ² - 3 x + y

hay muchas formas de clasificar los polinomios, incluso por grado (la suma de los exponentes en el término de mayor poder, por ejemplo, 3 en el primer ejemplo) y por el número de términos que contienen, como monomios (un término), binomios (dos) términos) y trinomios (tres términos).

sumar y restar polinomios depende de combinar términos "me gusta". un término similar es uno con las mismas variables y exponentes que otro, pero el número por el cual se multiplican (el coeficiente) puede ser diferente. por ejemplo, x ² y 4 x ² son términos semejantes porque tienen la misma variable y exponente, y 2 xy ⁴ y 6 xy ^{4 también} son términos semejantes. sin embargo, x ² , x ³ , x ² y ² y y ² no son términos semejantes, porque cada uno contiene diferentes combinaciones de variables y exponentes.

agregue polinomios combinando términos semejantes de la misma forma que lo haría con otros términos algebraicos. por ejemplo, mira el problema:

( x ³ + 3 x ) + (9 x ³ + 2 x + y )

Recoge los términos semejantes para obtener:

( x ³ + 9 x ³ ) + (3 x + 2 x ) + y

y luego evalúe simplemente sumando los coeficientes y combinándolos en un solo término:

10 x ³ + 5 x + y

tenga en cuenta que no puede hacer nada con y porque no tiene un término similar.

La resta funciona de la misma manera:

(4 x ⁴ + 3 y ² + 6 y ) - (2 x ⁴ + 2 y ² + y )

En primer lugar, tenga en cuenta que todos los términos en el corchete de la derecha se restan de los del corchete de la izquierda, así que escríbalo como:

4 x ⁴ + 3 y ² + 6 y - 2 x ⁴ - 2 y ² - y

Combina términos semejantes y evalúa para obtener:

(4 x ⁴ - 2 x ⁴ ) + (3 y ² - 2 y ² ) + (6 y - y )

= 2 x ⁴ + y ² + 5 y

para un problema como este:

(4 xy + x ² ) - (6 xy - 3 x ² )

tenga en cuenta que el signo menos se aplica a toda la expresión en el corchete derecho, por lo que los dos signos negativos antes de 3_x_ ^{2 se} convierten en un signo de suma:

(4 xy + x ² ) - (6 xy - 3 x ² ) = 4 xy + x ² - 6 xy + 3 x ²

luego calcule como antes.

multiplica las expresiones polinomiales usando la propiedad distributiva de la multiplicación. en resumen, multiplica cada término en el primer polinomio por cada término en el segundo polinomio. mira este sencillo ejemplo:

4 x × (2 x ² + y )

Usted resuelve esto usando la propiedad distributiva, por lo que:

4 x × (2 x ² + y ) = (4 x × 2 x ² ) + (4 x × y )

= 8 x ³ + 4 xy

Abordar problemas más complicados de la misma manera:

(2 y ³ + 3 x ) × (5 x ² + 2 x )

= (2 y ³ × (5 x ² + 2 x )) + (3 x × (5 x ² + 2 x ))

= (2 y ³ × 5 x ² ) + (2 y ³ × 2 x ) + (3 x × 5 x ² ) + (3 x × 2 x )

= 10 y ³ x ² + 4 y ³ x + 15 x ³ + 6 x ²

Estos problemas pueden complicarse para grupos más grandes, pero el proceso básico sigue siendo el mismo.

dividir expresiones polinomiales lleva más tiempo, pero puede abordarlo en pasos. mira la expresión:

( x ² - 3 x - 10) / ( x + 2)

Primero, escribe la expresión como una división larga, con el divisor a la izquierda y el dividendo a la derecha:

x + 2) x ² - 3 x - 10

divida el primer término en el dividendo por el primer término en el divisor, y ponga el resultado en la línea sobre la división. en este caso, x ² ÷ x = x , entonces:

X

x + 2) x ² - 3 x - 10

multiplica este resultado por todo el divisor, por lo que en este caso, ( x + 2) × x = x ² + 2 x . ponga este resultado debajo de la división:

X

x + 2) x ² - 3 x - 10

x ² + 2 x

reste el resultado en la nueva línea de los términos directamente sobre ella (tenga en cuenta que técnicamente cambia el signo, por lo que si tuviera un resultado negativo, lo agregaría en su lugar), y coloque esto en una línea debajo de ella. mover el término final del dividendo original hacia abajo también.

X

x + 2) x ² - 3 x - 10

x ² + 2 x

0 - 5 x - 10

ahora repita el proceso con el divisor y el nuevo polinomio en la línea inferior. entonces divida el primer término del divisor ( x ) por el primer término del dividendo (−5 x ) y coloque esto arriba:

X - 5

x + 2) x ² - 3 x - 10

x ² + 2 x

0 - 5 x - 10

multiply this result (−5 x ÷ x = −5) by the original divisor (so (x + 2) × −5 = −5 x −10) and put the result on a new bottom line:

x − 5

x + 2 ) x² – 3 x – 10

x² + 2 x

0 − 5 x − 10

−5 x – 10

then subtract the bottom line from the next one up (so in this case change the sign and add), and put the result on a new bottom line:

x − 5

x + 2 ) x² – 3 x – 10

x² + 2 x

0 − 5 x − 10

−5 x – 10

0 0

since there is now a row of zeros at the bottom, the process is finished. if there were non-zero terms remaining, you would repeat the process again. the result is on the top line, so:

(x² – 3 x – 10) / (x + 2) = x – 5

this division and some others can be solved more simply if you can factor the polynomial in the dividend.