¬ŅQu√© es la diferencia sim√©trica en matem√°ticas?

¬ŅQu√© es la diferencia sim√©trica en matem√°ticas?

La teoría de conjuntos utiliza una serie de operaciones diferentes para construir nuevos conjuntos a partir de los antiguos. Hay una variedad de formas de seleccionar ciertos elementos de conjuntos dados mientras se excluyen otros. El resultado suele ser un conjunto que difiere de los originales. Es importante tener formas bien definidas de construir estos nuevos conjuntos, y ejemplos de estos incluyen la unión , intersección y diferencia de dos conjuntos . Una operación de conjuntos que quizás sea menos conocida se llama diferencia simétrica.

 

Definición de diferencia simétrica

Para comprender la definici√≥n de diferencia sim√©trica, primero debemos comprender la palabra "o". Aunque peque√Īa, la palabra "o" tiene dos usos diferentes en el idioma ingl√©s. Puede ser exclusivo o inclusivo (y solo se us√≥ exclusivamente en esta oraci√≥n). Si se nos dice que podemos elegir entre A o B, y el sentido es exclusivo, es posible que solo tengamos una de las dos opciones. Si el sentido es inclusivo, entonces podemos tener A, podemos tener B, o podemos tener tanto A como B.

Por lo general, el contexto nos gu√≠a cuando nos encontramos con la palabra o y ni siquiera necesitamos pensar de qu√© manera se est√° utilizando. Si nos preguntan si queremos crema o az√ļcar en nuestro caf√© , est√° claramente impl√≠cito que podemos tener ambos. En matem√°ticas, queremos eliminar la ambig√ľedad. Entonces, la palabra 'o' en matem√°ticas tiene un sentido inclusivo.

Por tanto, la palabra "o" se emplea en sentido inclusivo en la definici√≥n de uni√≥n. La uni√≥n de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos en A o B (incluidos los elementos que est√°n en ambos conjuntos). Pero vale la pena tener una operaci√≥n de conjunto que construya el conjunto que contiene elementos en A o B, donde 'o' se usa en el sentido exclusivo. Esto es lo que llamamos diferencia sim√©trica. La diferencia sim√©trica de los conjuntos A y B son los elementos en A o B, pero no tanto en A como en B. Si bien la notaci√≥n var√≠a para la diferencia sim√©trica, escribiremos esto como A ‚ąÜ B

Para un ejemplo de la diferencia simétrica, consideraremos los conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {2,4,6}. La diferencia simétrica entre estos conjuntos es {1,3,5,6}.

 

En términos de otras operaciones de conjuntos

Se pueden utilizar otras operaciones de conjuntos para definir la diferencia sim√©trica. De la definici√≥n anterior, est√° claro que podemos expresar la diferencia sim√©trica de A y B como la diferencia de la uni√≥n de A y B y la intersecci√≥n de A y B. En s√≠mbolos escribimos: A ‚ąÜ B = (A ‚ą™ B ) - (A ‚ą© B) .

Una expresi√≥n equivalente, usando algunas operaciones de conjuntos diferentes, ayuda a explicar la diferencia sim√©trica del nombre. En lugar de usar la formulaci√≥n anterior, podemos escribir la diferencia sim√©trica de la siguiente manera: (A - B) ‚ą™ (B - A) . Aqu√≠ vemos de nuevo que la diferencia sim√©trica es el conjunto de elementos en A pero no en B, o en B pero no A. Por lo tanto, hemos excluido esos elementos en la intersecci√≥n de A y B. Es posible demostrar matem√°ticamente que estas dos f√≥rmulas son equivalentes y se refieren al mismo conjunto.

 

La diferencia simétrica del nombre

El nombre diferencia simétrica sugiere una conexión con la diferencia de dos conjuntos. Esta diferencia de conjuntos es evidente en las dos fórmulas anteriores. En cada uno de ellos se calculó una diferencia de dos conjuntos. Lo que diferencia la diferencia simétrica de la diferencia es su simetría. Por construcción, los roles de A y B se pueden cambiar. Esto no es cierto para la diferencia entre dos conjuntos.

Para enfatizar este punto, con solo un poco de trabajo veremos la simetr√≠a de la diferencia sim√©trica ya que vemos A ‚ąÜ B = (A - B) ‚ą™ (B - A) = (B - A) ‚ą™ (A - B) = B őĒ A .



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