¬ŅQu√© es la f√≥rmula de la ley de los cosenos?

¬ŅQu√© es la f√≥rmula de la ley de los cosenos?

dominar los conceptos de seno y coseno es una parte integral de la trigonometr√≠a. pero una vez que tienes estas ideas en tu haber, se convierten en los bloques de construcci√≥n para otras herramientas √ļtiles en trigonometr√≠a y, m√°s adelante, en c√°lculo. por ejemplo, la "ley de los cosenos" es una f√≥rmula especial que puede usar para encontrar el lado faltante de un tri√°ngulo si conoce la longitud de los otros dos lados m√°s el √°ngulo entre ellos, o para encontrar los √°ngulos de un tri√°ngulo cuando Conoces los tres lados.

la ley de los cosenos

La ley de los cosenos viene en varias versiones, dependiendo de los ángulos o lados del triángulo con el que estés tratando:

  • a 2 = b 2 + c 2 - 2_bc_ √ó cos (a)
  • b 2 = a 2 + c 2 - 2_ac_ √ó cos (b)
  • c 2 = a 2 + b 2 - 2_ab_ √ó cos (c)

en cada caso, a , b y c son los lados de un triángulo, y a, b, o c es el ángulo opuesto al lado de la misma letra. entonces a es el ángulo opuesto al lado a, b es el ángulo opuesto al lado b , y c es el ángulo opuesto al lado c . esta es la forma de la ecuación que usas si estás encontrando la longitud de uno de los lados del triángulo.

La ley de los cosenos tambi√©n se puede reescribir en versiones que facilitan la b√ļsqueda de cualquiera de los tres √°ngulos del tri√°ngulo, asumiendo que conoces la longitud de los tres lados del tri√°ngulo:

  • cos (a) = ( b 2 + c 2 - a 2 ) √∑ 2_bc_
  • cos (b) = ( c 2 + a 2 - b 2 ) √∑ 2_ac_
  • cos (c) = ( a 2 + b 2 - c 2 ) √∑ 2_ab_

resolviendo por un lado

para usar la ley de los cosenos para resolver el lado de un triángulo, necesitas tres datos: las longitudes de los otros dos lados del triángulo, más el ángulo entre ellos. elija la versión de la fórmula donde el lado que desea encontrar se encuentra a la izquierda de la ecuación, y la información que ya tiene está a la derecha. así que si quieres encontrar la longitud del lado a , usarías la versión a 2 = b 2 + c 2 - 2_bc_ × cos (a).

    Sustituye los valores de los dos lados conocidos y el √°ngulo entre ellos en la f√≥rmula. Si el tri√°ngulo tiene conocidos lados b y c que miden 5 unidades y 6 unidades respectivamente, y el √°ngulo entre ellos mide 60 grados (que tambi√©n podr√≠a ser expresados en radianes como ŌÄ / 3), tendr√≠a que:

    a 2 = 5 2 + 6 2 - 2 (5) (6) √ó cos (60)

    use una tabla o su calculadora para buscar el valor del coseno; en este caso, cos (60) = 0.5, que le da la ecuación:

    a 2 = 5 2 + 6 2 - 2 (5) (6) √ó 0.5

    Simplifica el resultado del paso 2. Esto te da:

    a 2 = 25 + 36 - 30

    lo que a su vez simplifica a:

    a 2 = 31

    saca la raíz cuadrada de ambos lados para terminar de resolver para a . esto te deja con:

    a = ‚ąö31

    Si bien puede usar una tabla o su calculadora para estimar el valor de ‚ąö31 (es 5.568), a menudo se le permitir√°, e incluso se lo recomendar√°, que deje la respuesta en su forma radical m√°s precisa.

resolviendo para un √°ngulo

puedes aplicar el mismo proceso para encontrar cualquiera de los ángulos del triángulo si conoces los tres lados. esta vez, elegirá la versión de la fórmula que coloca el ángulo faltante o "no lo sé" en el lado izquierdo del signo igual. imagine que desea encontrar la medida del ángulo c (que, recuerde, se define como el ángulo opuesto al lado c ). Usarías esta versión de la fórmula:

cos (c) = ( a 2 + b 2 - c 2 ) √∑ 2_ab_

    sustituya los valores conocidos, en este tipo de problema, que significa las longitudes de los tres lados del triángulo, en la ecuación. como ejemplo, deja que los lados de tu triángulo sean a = 3 unidades, b = 4 unidades y c = 25 unidades. entonces tu ecuación se convierte en:

    cos (c) = (3 2 + 4 2 - 5 2 ) √∑ 2 (3) (4)

    Una vez que simplifiques la ecuación resultante, tendrás:

    cos (c) = 0 √∑ 24

    o simplemente cos (c) = 0.

    calcule el coseno inverso o el coseno de arco de 0, a menudo anotados como cos -1 (0). O, en otras palabras, ¬Ņqu√© √°ngulo tiene un coseno de 0? En realidad, hay dos √°ngulos que devuelven este valor: 90 grados y 270 grados. pero, por definici√≥n, sabes que cada √°ngulo en un tri√°ngulo debe ser menor de 180 grados, por lo que deja solo 90 grados como opci√≥n.

    por lo tanto, la medida de su ángulo perdido es de 90 grados, lo que significa que está tratando con un triángulo rectángulo, aunque este método funciona también con triángulos no rectos.



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