驴Qu茅 hace que una relaci贸n sea una funci贸n?

驴Qu茅 hace que una relaci贸n sea una funci贸n?

Las funciones matem谩ticas son herramientas poderosas para los negocios, la ingenier铆a y las ciencias porque pueden actuar como modelos en miniatura de fen贸menos del mundo real. para comprender las funciones y las relaciones, es necesario profundizar un poco en conceptos tales como conjuntos, pares ordenados y relaciones. una funci贸n es un tipo especial de relaci贸n que tiene solo un valor y para un valor x dado. Existen otros tipos de relaciones que parecen funciones pero no cumplen con la definici贸n estricta de una.

Conjuntos, pares ordenados y relaciones.

para describir relaciones y funciones, es 煤til discutir primero los conjuntos y los pares ordenados. brevemente, un conjunto de n煤meros es una colecci贸n de ellos, t铆picamente contenida entre llaves, como {15,1, 2/3} o {0, .22}. por lo general, se define un conjunto con una regla, como todos los n煤meros pares entre 2 y 10, inclusive: {2,4,6,8,10}.

un conjunto puede tener cualquier n煤mero de elementos, o ninguno, es decir, el conjunto nulo {}. un par ordenado es un grupo de dos n煤meros entre par茅ntesis, tales como (0,1) y (45, -2). por conveniencia, puede llamar al primer valor en un par ordenado el valor x, y al segundo el valor y. Una relaci贸n organiza pares ordenados en un conjunto. por ejemplo, el conjunto {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} es una relaci贸n. puede trazar los valores x e y de una relaci贸n en un gr谩fico utilizando los ejes x e y.

relaciones y funciones

una funci贸n es una relaci贸n en la que cualquier valor x dado tiene solo un valor y correspondiente. podr铆a pensar que con pares ordenados, cada x tiene solo un valor de y de todos modos. sin embargo, en el ejemplo de una relaci贸n dada anteriormente, tenga en cuenta que los valores de x 1 y 2 tienen cada uno dos valores de y correspondientes, 0 y 5, y 10 y 15, respectivamente. Esta relaci贸n no es una funci贸n. La regla le da a la relaci贸n de funci贸n un car谩cter definitivo que, de lo contrario, no existe, en t茅rminos de valores de x. podr铆as preguntar, cuando x es 1, 驴cu谩l es el valor de y? Para la relaci贸n anterior, la pregunta no tiene una respuesta definida; podr铆a ser 0, 5 o ambos.

Ahora examine un ejemplo de una relaci贸n que sea una funci贸n verdadera: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. Los valores de x no se repiten en ninguna parte. como otro ejemplo, mire {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. algunos valores de y se repiten, pero esto no viola la regla. todav铆a se puede decir que cuando el valor de x es 0, y es definitivamente 5.

Funciones gr谩ficas: prueba de l铆nea vertical

puede saber si una relaci贸n es una funci贸n trazando los n煤meros en un gr谩fico y aplicando la prueba de la l铆nea vertical. si ninguna l铆nea vertical que pasa a trav茅s del gr谩fico la cruza en m谩s de un punto, la relaci贸n es una funci贸n.

funciona como ecuaciones

escribir un conjunto de pares ordenados como una funci贸n lo convierte en un ejemplo f谩cil, pero r谩pidamente se vuelve tedioso cuando tienes m谩s de unos pocos n煤meros. para resolver este problema, los matem谩ticos escriben funciones en t茅rminos de ecuaciones, como y = x ^ 2 - 2x + 3. utilizando esta ecuaci贸n compacta, puede generar tantos pares ordenados como desee: conecte diferentes valores para x, haga el Matem谩ticas, y salen tus valores de y.

usos de funciones en el mundo real

muchas funciones sirven como modelos matem谩ticos, lo que permite a las personas comprender detalles de fen贸menos que de otro modo seguir铆an siendo misteriosos. para tomar un ejemplo simple, la ecuaci贸n de distancia para un objeto que cae es d = .5 xgxt ^ 2, donde t es el tiempo en segundos, y g es la aceleraci贸n debida a la gravedad. conecte 9.8 para la gravedad de la tierra en metros por segundo al cuadrado, y puede encontrar la distancia que un objeto cay贸 en cualquier valor de tiempo. Tenga en cuenta que, a pesar de su utilidad, los modelos tienen limitaciones. la ecuaci贸n de ejemplo funciona bien para dejar caer una bola de acero pero no una pluma porque el aire hace que la pluma baje.



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