¿Qué hace que una relación sea una función?

¿Qué hace que una relación sea una función?

Las funciones matemáticas son herramientas poderosas para los negocios, la ingeniería y las ciencias porque pueden actuar como modelos en miniatura de fenómenos del mundo real. para comprender las funciones y las relaciones, es necesario profundizar un poco en conceptos tales como conjuntos, pares ordenados y relaciones. una función es un tipo especial de relación que tiene solo un valor y para un valor x dado. Existen otros tipos de relaciones que parecen funciones pero no cumplen con la definición estricta de una.

Conjuntos, pares ordenados y relaciones.

para describir relaciones y funciones, es útil discutir primero los conjuntos y los pares ordenados. brevemente, un conjunto de números es una colección de ellos, típicamente contenida entre llaves, como {15,1, 2/3} o {0, .22}. por lo general, se define un conjunto con una regla, como todos los números pares entre 2 y 10, inclusive: {2,4,6,8,10}.

un conjunto puede tener cualquier número de elementos, o ninguno, es decir, el conjunto nulo {}. un par ordenado es un grupo de dos números entre paréntesis, tales como (0,1) y (45, -2). por conveniencia, puede llamar al primer valor en un par ordenado el valor x, y al segundo el valor y. Una relación organiza pares ordenados en un conjunto. por ejemplo, el conjunto {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} es una relación. puede trazar los valores x e y de una relación en un gráfico utilizando los ejes x e y.

relaciones y funciones

una función es una relación en la que cualquier valor x dado tiene solo un valor y correspondiente. podría pensar que con pares ordenados, cada x tiene solo un valor de y de todos modos. sin embargo, en el ejemplo de una relación dada anteriormente, tenga en cuenta que los valores de x 1 y 2 tienen cada uno dos valores de y correspondientes, 0 y 5, y 10 y 15, respectivamente. Esta relación no es una función. La regla le da a la relación de función un carácter definitivo que, de lo contrario, no existe, en términos de valores de x. podrías preguntar, cuando x es 1, ¿cuál es el valor de y? Para la relación anterior, la pregunta no tiene una respuesta definida; podría ser 0, 5 o ambos.

Ahora examine un ejemplo de una relación que sea una función verdadera: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. Los valores de x no se repiten en ninguna parte. como otro ejemplo, mire {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. algunos valores de y se repiten, pero esto no viola la regla. todavía se puede decir que cuando el valor de x es 0, y es definitivamente 5.

Funciones gráficas: prueba de línea vertical

puede saber si una relación es una función trazando los números en un gráfico y aplicando la prueba de la línea vertical. si ninguna línea vertical que pasa a través del gráfico la cruza en más de un punto, la relación es una función.

funciona como ecuaciones

escribir un conjunto de pares ordenados como una función lo convierte en un ejemplo fácil, pero rápidamente se vuelve tedioso cuando tienes más de unos pocos números. para resolver este problema, los matemáticos escriben funciones en términos de ecuaciones, como y = x ^ 2 - 2x + 3. utilizando esta ecuación compacta, puede generar tantos pares ordenados como desee: conecte diferentes valores para x, haga el Matemáticas, y salen tus valores de y.

usos de funciones en el mundo real

muchas funciones sirven como modelos matemáticos, lo que permite a las personas comprender detalles de fenómenos que de otro modo seguirían siendo misteriosos. para tomar un ejemplo simple, la ecuación de distancia para un objeto que cae es d = .5 xgxt ^ 2, donde t es el tiempo en segundos, y g es la aceleración debida a la gravedad. conecte 9.8 para la gravedad de la tierra en metros por segundo al cuadrado, y puede encontrar la distancia que un objeto cayó en cualquier valor de tiempo. Tenga en cuenta que, a pesar de su utilidad, los modelos tienen limitaciones. la ecuación de ejemplo funciona bien para dejar caer una bola de acero pero no una pluma porque el aire hace que la pluma baje.



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