Al igual que en el álgebra, cuando comienzas a aprender trigonometría, acumulas conjuntos de fórmulas que son útiles para resolver problemas. Uno de estos conjuntos son las identidades de medio ángulo, que puede utilizar para dos propósitos. una es convertir las funciones trigonométricas de (θ / 2) en funciones en términos de la más familiar (y más fácil de manipular) θ. la otra es encontrar el valor real de las funciones trigonométricas de, cuando θ puede expresarse como la mitad de un ángulo más familiar.
revisando las identidades de medio ángulo
muchos libros de texto de matemáticas enumerarán cuatro identidades principales de medio ángulo. pero al aplicar una combinación de álgebra y trigonometría, estas ecuaciones se pueden masajear en varias formas útiles. no necesariamente tiene que memorizar todos estos (a menos que su maestro insista), pero al menos debe entender cómo usarlos:
Identidad de medio ángulo para seno
- sin (θ / 2) = ± √ [(1 - cosθ) / 2]
Identidad de medio ángulo para coseno
- cos (θ / 2) = ± √ [(1 + cosθ) / 2]
Identidades de medio ángulo para tangente
- tan (/ 2) = ± √ [(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]
- tan (/ 2) = sinθ / (1 + cosθ)
- tan (θ / 2) = (1 - cosθ) / sinθ
- tan (θ / 2) = cscθ - cotθ
Identidades de medio ángulo para cotangente
- cuna (θ / 2) = ± √ [(1 + cosθ) / (1 - cosθ)]
- cuna (θ / 2) = sinθ / (1 - cosθ)
- cuna (θ / 2) = (1 + cosθ) / sinθ
- cuna (θ / 2) = cscθ + cunaθ
Un ejemplo del uso de identidades de medio ángulo.
Entonces, ¿cómo se usan las identidades de medio ángulo? el primer paso es reconocer que estás tratando con un ángulo que es la mitad de un ángulo más familiar.
- cuadrante i: todas las funciones trigonométricas
- cuadrante ii: solo seno y cosecante
- cuadrante iii: solo tangente y cotangente
- cuadrante iv: solo coseno y secante
Imagina que te piden que encuentres el seno del ángulo 15 grados. este no es uno de los ángulos para los que la mayoría de los estudiantes memorizarán los valores de las funciones trigonométricas. pero si deja que 15 grados sean iguales a θ / 2 y luego resuelva para, encontrará que:
θ / 2 = 15
θ = 30
Debido a que la θ resultante, 30 grados, es un ángulo más familiar, será útil usar la fórmula de medio ángulo aquí.
porque le han pedido que busque el seno, en realidad solo hay una fórmula de medio ángulo para elegir:
sin (θ / 2) = ± √ [(1 - cosθ) / 2]
Sustituyendo en θ / 2 = 15 grados y θ = 30 grados le da:
sin (15) = ± √ [(1 - cos (30)) / 2]
si le pidieran que encontrara la tangente o la cotangente, ambas de las cuales multiplican la mitad de las formas de expresar su identidad de medio ángulo, simplemente elegiría la versión que le resulte más fácil de trabajar.
El signo ± al comienzo de algunas identidades de medio ángulo significa que la raíz en cuestión podría ser positiva o negativa. puede resolver esta ambigüedad utilizando su conocimiento de las funciones trigonométricas en cuadrantes. Aquí hay un resumen rápido de las funciones trigonométricas que devuelven valores positivos en los cuadrantes:
porque en este caso su ángulo θ representa 30 grados, que cae en el cuadrante i, usted sabe que el valor del seno que retorna será positivo. para que puedas soltar el signo ± y simplemente evaluar:
sin (15) = √ [(1 - cos (30)) / 2]
Sustituir en el familiar, valor conocido de cos (30). en este caso, use los valores exactos (a diferencia de las aproximaciones decimales de un gráfico):
sin (15) = √ [(1 - √3 / 2) / 2]
a continuación, simplifica el lado derecho de tu ecuación para encontrar un valor para el pecado (15). Comience multiplicando la expresión bajo el radical por 2/2, lo que le da:
sin (15) = √ [2 (1 - √3 / 2) / 4]
esto se simplifica a:
sin (15) = √ [(2 - √3) / 4]
entonces puedes factorizar la raíz cuadrada de 4:
sin (15) = (1/2) √ (2 - √3)
En la mayoría de los casos, esto es todo lo que se podría simplificar. Si bien el resultado puede no ser terriblemente bonito, ha traducido el seno de un ángulo desconocido en una cantidad exacta.