en matemáticas, un recíproco de un número es el número que, cuando se multiplica por el número original, produce 1. por ejemplo, el recíproco para la variable x es 1 / x, porque x • 1 / x = x / x = 1. en este ejemplo, 1 / x es la identidad recíproca de x, y viceversa. en trigonometría, cualquiera de los ángulos de no 90 grados en un triángulo rectángulo puede definirse por razones llamadas seno, coseno y tangente. aplicando el concepto de identidades recíprocas, los matemáticos definen tres razones más. Sus nombres son cosecantes, secantes y cotangentes. cosecante es la identidad recíproca de seno, secante que de coseno y cotangente que de tangente.
cómo determinar identidades recíprocas
considera un ángulo θ, que es uno de los dos ángulos de no 90 grados en un triángulo rectángulo. si la longitud del lado del triángulo opuesto al ángulo es "b", la longitud del lado adyacente al ángulo y opuesta a las hipotenusas es "a" y la longitud de la hipotenusa es "r", podemos definir las tres ratios trigonométricos primarios en términos de estas longitudes.
- sine θ = pecado θ = b / r
- coseno θ = cos θ = a / r
- tangente tan = tan θ = b / a
la identidad recíproca de sin θ debe ser igual a 1 / sin θ, ya que ese es el número que, cuando se multiplica por sin, produce 1. lo mismo es cierto para cos θ y tan θ. Los matemáticos dan a estos recíprocos los nombres de cosecante, secante y cotangente, respectivamente. por definición:
- cosecante θ = csc θ = 1 / sin
- secante θ = sec θ = 1 / cos θ
- cotangente θ = cuna θ = 1 / tan
puede definir estas identidades recíprocas en términos de la longitud de los lados del triángulo rectángulo de la siguiente manera:
- csc θ = r / b
- sec θ = r / a
- cuna θ = a / b
las siguientes relaciones son verdaderas para cualquier ángulo θ:
- sin θ • csc θ = 1
- cos θ • sec θ = 1
- tan θ • cuna θ = 1
otras dos identidades trigonométricas
Si conoces el seno y el coseno de un ángulo, puedes derivar la tangente. esto es cierto porque sin = b / r y cos θ = a / r, entonces sin / cos θ = (b / r • r / a) = b / a. Ya que esta es la definición de tan θ, la siguiente identidad, conocida como identidad del cociente, sigue:
- sin θ / cos θ = tan
- cos sin / sin θ = cuna θ
La identidad pitagórica se desprende del hecho de que, para cualquier triángulo rectángulo con los lados a y b y la hipotenusa r, se cumple lo siguiente: a 2 + b 2 = r 2 . reorganizando términos y definiendo relaciones en términos de seno y coseno, se llega a la siguiente expresión:
sin 2 θ + cos 2 θ = 1
Dos otras relaciones importantes siguen cuando inserta identidades recíprocas para seno y coseno en la expresión anterior:
- tan 2 θ + 1 = sec 2 θ
- cuna 2 θ + 1 = csc 2 θ