Las distribuciones binomiales son una clase importante de distribuciones de probabilidad discretas . Estos tipos de distribuciones son una serie de n ensayos independientes de Bernoulli, cada uno de los cuales tiene una probabilidad constante p de éxito. Al igual que con cualquier distribución de probabilidad, nos gustaría saber cuál es su significado o centro. para esto realmente estamos preguntando, "¿cuál es el valor esperado de la distribución binomial?"
intuición versus prueba
Si pensamos cuidadosamente en una distribución binomial , no es difícil determinar que el valor esperado de este tipo de distribución de probabilidad es np. Para algunos ejemplos rápidos de esto, considere lo siguiente:
- si lanzamos 100 monedas, y x es el número de caras, el valor esperado de x es 50 = (1/2) 100.
- Si estamos tomando una prueba de opción múltiple con 20 preguntas y cada pregunta tiene cuatro opciones (solo una de las cuales es correcta), entonces adivinar al azar significaría que solo esperaríamos obtener (1/4) 20 = 5 preguntas correctas.
En ambos ejemplos vemos que e [x] = np . dos casos apenas son suficientes para llegar a una conclusión. Aunque la intuición es una buena herramienta para guiarnos, no es suficiente formar un argumento matemático y demostrar que algo es cierto. ¿Cómo demostramos definitivamente que el valor esperado de esta distribución es np ?
A partir de la definición del valor esperado y la función de masa de probabilidad para la distribución binomial de n ensayos de probabilidad de éxito p , podemos demostrar que nuestra intuición coincide con los frutos del rigor matemático. debemos ser algo cuidadosos en nuestro trabajo y ágiles en nuestras manipulaciones del coeficiente binomial que proporciona la fórmula para las combinaciones.
comenzamos usando la fórmula:
e [x] = Σ x = 0 n xc (n, x) p x (1-p) n - x .
Como cada término de la suma se multiplica por x , el valor del término correspondiente a x = 0 será 0, por lo que podemos escribir:
e [x] = Σ x = 1 n xc (n, x) p x (1 - p) n - x .
manipulando los factoriales involucrados en la expresión para c (n, x) podemos reescribir
xc (n, x) = nc (n - 1, x - 1).
Esto es cierto porque:
xc (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / ((x - 1)! ((N - 1) - (x - 1))!) = Nc (n - 1, x - 1).
resulta que:
e [x] = Σ x = 1 n nc (n - 1, x - 1) p x (1 - p) n - x .
factorizamos la n y una p de la expresión anterior:
e [x] = np Σ x = 1 n c (n - 1, x - 1) p x - 1 (1 - p) (n - 1) - (x - 1) .
un cambio de variables r = x - 1 nos da:
e [x] = np Σ r = 0 n - 1 c (n - 1, r) p r (1 - p) (n - 1) - r .
por la fórmula binomial, (x + y) k = Σ r = 0 k c (k, r) x r y k - r la suma anterior se puede reescribir:
e [x] = (np) (p + (1 - p)) n - 1 = np.
El argumento anterior nos ha llevado muy lejos. Desde el principio solo con la definición del valor esperado y la función de masa de probabilidad para una distribución binomial, hemos demostrado lo que nuestra intuición nos dijo. El valor esperado de la distribución binomial b (n, p) es np .