Powerball es una lotería multiestatal que es bastante popular debido a sus botes multimillonarios. Algunos de estos botes alcanzan valores que superan los $ 100 millones. Un ion búsqueda interesante desde el probabilística sentido es: “¿Cómo están las probabilidades calculadas sobre la probabilidad de ganar el Powerball?”
Las normas
Primero examinaremos las reglas de Powerball tal como está configurado actualmente. Durante cada sorteo, dos tambores llenos de bolas se mezclan a fondo y se distribuyen al azar. El primer tambor contiene bolas blancas numeradas del 1 al 59. Se extraen cinco de este tambor sin reemplazo . El segundo tambor tiene bolas rojas numeradas del 1 al 35. Se saca una de ellas. El objetivo es hacer coincidir la mayor cantidad posible de estos números.
Los premios
El premio mayor completo se gana cuando los seis números seleccionados por un jugador coinciden perfectamente con las bolas extraídas. Hay premios con valores menores por igualación parcial, para un total de nueve formas diferentes de ganar una cantidad en dólares de Powerball. Estas formas de ganar son:
- Al hacer coincidir las cinco bolas blancas y la bola roja, se gana el premio mayor. El valor de esto varía dependiendo de cuánto tiempo haya pasado desde que alguien ganó este gran premio.
- Emparejar las cinco bolas blancas pero no la roja gana $ 1,000,000.
- Al hacer coincidir exactamente cuatro de las cinco bolas blancas y la bola roja se ganan $ 10,000.
- Al hacer coincidir exactamente cuatro de las cinco bolas blancas, pero no la roja, se ganan $ 100.
- Hacer coincidir exactamente tres de las cinco bolas blancas y la bola roja gana $ 100.
- Al hacer coincidir exactamente tres de las cinco bolas blancas, pero no la roja, se ganan $ 7.
- Emparejar exactamente dos de las cinco bolas blancas y la bola roja gana $ 7.
- Hacer coincidir exactamente una de las cinco bolas blancas y la bola roja gana $ 4.
- Emparejar solo la bola roja pero ninguna de las blancas gana $ 4.
Veremos cómo calcular cada una de estas probabilidades. A lo largo de estos cálculos, es importante tener en cuenta que el orden de salida de las bolas del tambor no es importante. Lo único que importa es el conjunto de bolas que se extraen. Por esta razón, nuestros cálculos involucran combinaciones y no permutaciones .
También es útil en todos los cálculos siguientes el número total de combinaciones que se pueden dibujar. Hemos seleccionado cinco de las 59 bolas blancas, o usando la notación para combinaciones, C (59, 5) = 5,006,386 formas para que esto ocurra. Hay 35 formas de seleccionar la bola roja, lo que resulta en 35 x 5,006,386 = 175,223,510 posibles selecciones.
Bote
Aunque el premio mayor de acertar las seis bolas es el más difícil de obtener, es la probabilidad más fácil de calcular. De la multitud de 175,223,510 posibles selecciones, hay exactamente una forma de ganar el premio mayor. Por lo tanto, la probabilidad de que un boleto en particular gane el premio mayor es 1 / 175,223,510.
Cinco bolas blancas
Para ganar $ 1,000,000 necesitamos igualar las cinco bolas blancas, pero no la roja. Solo hay una forma de combinar los cinco. Hay 34 formas de no igualar la bola roja. Entonces, la probabilidad de ganar $ 1,000,000 es 34 / 175,223,510, o aproximadamente 1 / 5,153,633.
Cuatro bolas blancas y una roja
Para un premio de $ 10,000, debemos acertar cuatro de las cinco bolas blancas y la roja. Hay C (5,4) = 5 formas de combinar cuatro de las cinco. La quinta bola debe ser una de las 54 restantes que no se sacaron, por lo que hay C (54, 1) = 54 formas para que esto suceda. Solo hay una forma de hacer coincidir la bola roja. Esto significa que hay 5 x 54 x 1 = 270 formas de hacer coincidir exactamente cuatro bolas blancas y la roja, lo que da una probabilidad de 270 / 175,223,510, o aproximadamente 1 / 648,976.
Cuatro bolas blancas y ninguna roja
Una forma de ganar un premio de $ 100 es igualar cuatro de las cinco bolas blancas y no igualar la roja. Como en el caso anterior, hay C (5,4) = 5 formas de emparejar cuatro de las cinco. La quinta bola debe ser una de las 54 restantes que no se sacaron, por lo que hay C (54, 1) = 54 formas para que esto suceda. Esta vez, hay 34 formas de no igualar la bola roja. Esto significa que hay 5 x 54 x 34 = 9180 formas de hacer coincidir exactamente cuatro bolas blancas pero no la roja, lo que da una probabilidad de 9180 / 175,223,510, o aproximadamente 1 / 19,088.
Tres bolas blancas y una roja
Otra forma de ganar un premio de $ 100 es igualar exactamente tres de las cinco bolas blancas y también igualar la roja. Hay C (5,3) = 10 formas de hacer coincidir tres de las cinco. Las bolas blancas restantes deben ser una de las 54 restantes que no se sacaron, por lo que hay C (54, 2) = 1431 formas para que esto suceda. Hay una forma de hacer coincidir la bola roja. Esto significa que hay 10 x 1431 x 1 = 14.310 formas de hacer coincidir exactamente tres bolas blancas y la roja, lo que da una probabilidad de 14.310 / 175.223.510, o aproximadamente 1 / 12.245.
Tres bolas blancas y ninguna roja
Una forma de ganar un premio de $ 7 es igualar exactamente tres de las cinco bolas blancas y no igualar la roja. Hay C (5,3) = 10 formas de hacer coincidir tres de las cinco. Las bolas blancas restantes deben ser una de las 54 restantes que no se sacaron, por lo que hay C (54, 2) = 1431 formas para que esto suceda. Esta vez hay 34 formas de no igualar la bola roja. Esto significa que hay 10 x 1431 x 34 = 486,540 formas de hacer coincidir exactamente tres bolas blancas pero no la roja, lo que da una probabilidad de 486,540 / 175,223,510, o aproximadamente 1/360.
Dos bolas blancas y una roja
Otra forma de ganar un premio de $ 7 es igualar exactamente dos de las cinco bolas blancas y también igualar la roja. Hay C (5,2) = 10 formas de combinar dos de las cinco. Las bolas blancas restantes deben ser una de las 54 restantes que no se sacaron, por lo que hay C (54, 3) = 24,804 formas para que esto suceda. Hay una forma de hacer coincidir la bola roja. Esto significa que hay 10 x 24,804 x 1 = 248,040 formas de hacer coincidir exactamente dos bolas blancas y la roja, dando una probabilidad de 248,040 / 175,223,510, o aproximadamente 1/706.
Una bola blanca y una roja
Una forma de ganar un premio de $ 4 es hacer coincidir exactamente una de las cinco bolas blancas y también hacer coincidir la roja. Hay C (5,4) = 5 formas de hacer coincidir una de las cinco. Las bolas blancas restantes deben ser una de las 54 restantes que no se sacaron, por lo que hay C (54, 4) = 316,251 formas para que esto suceda. Hay una forma de hacer coincidir la bola roja. Esto significa que hay 5 x 316,251 x1 = 1,581,255 formas de hacer coincidir exactamente una bola blanca y la roja, lo que da una probabilidad de 1,581,255 / 175,223,510, o aproximadamente 1/111.
Una bola roja
Otra forma de ganar un premio de $ 4 es no igualar ninguna de las cinco bolas blancas, pero igualar la roja. Hay 54 bolas que no son ninguna de las cinco seleccionadas, y tenemos C (54, 5) = 3,162,510 formas para que esto suceda. Hay una forma de hacer coincidir la bola roja. Esto significa que hay 3,162,510 formas de igualar ninguna de las bolas excepto la roja, lo que da una probabilidad de 3,162,510 / 175,223,510, o aproximadamente 1/55.
Este caso es algo contrario a la intuición. Hay 36 bolas rojas, por lo que podemos pensar que la probabilidad de acertar una de ellas sería 1/36. Sin embargo, esto descuida las demás condiciones impuestas por las bolas blancas. Muchas combinaciones que involucran la bola roja correcta también incluyen coincidencias en algunas de las bolas blancas.