¿Qué es la paradoja de San Petersburgo?

estás en las calles de st. Petersburgo, Rusia, y un anciano propone el siguiente juego. lanza una moneda (y tomará prestada una de las suyas si no confía en que la suya sea justa). si cae hacia arriba, pierdes y el juego termina. Si la moneda cae cara arriba, ganas un rublo y el juego continúa. la moneda se tira de nuevo. si es colas, entonces el juego termina. si es cara, entonces ganas dos rublos adicionales. El juego continúa de esta manera. por cada cabeza sucesiva duplicamos nuestras ganancias de la ronda anterior, pero a la señal de la primera cola, el juego está terminado.

¿Cuánto pagarías por jugar a este juego? Cuando consideramos el valor esperado de este juego, debes aprovechar la oportunidad, sin importar el costo de jugar. sin embargo, según la descripción anterior, probablemente no estaría dispuesto a pagar mucho. después de todo, hay un 50% de probabilidad de no ganar nada. esto es lo que se conoce como st. paradoja de petersburgo, nombrada debido a la publicación en 1738 de los comentarios de daniel bernoulli de la academia imperial de ciencias de san petersburgo .

Comencemos calculando las probabilidades asociadas con este juego. la probabilidad de que una moneda justa caiga cara arriba es 1/2. cada lanzamiento de moneda es un evento independiente y, por lo tanto, multiplicamos las probabilidades posiblemente con el uso de un diagrama de árbol .

• La probabilidad de dos cabezas seguidas es (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• La probabilidad de tres cabezas seguidas es (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Para expresar la probabilidad de n cabezas en una fila, donde n es un número entero positivo, usamos exponentes para escribir 1/2 ⁿ .

ahora sigamos adelante y veamos si podemos generalizar cuáles serían las ganancias en cada ronda.

• Si tienes una cabeza en la primera ronda, ganas un rublo para esa ronda.
• Si hay una cabeza en la segunda ronda, ganas dos rublos en esa ronda.
• Si hay una cabeza en la tercera ronda, entonces ganas cuatro rublos en esa ronda.
• si usted ha tenido la suerte de hacer que todo el camino hasta el n ^º ronda, entonces usted va a ganar 2 ^n-1 rublos en esa ronda.

El valor esperado de un juego nos dice cuáles serían las ganancias promedio si jugáras el juego muchas, muchas veces. Para calcular el valor esperado, multiplicamos el valor de las ganancias de cada ronda con la probabilidad de llegar a esta ronda y luego sumamos todos estos productos.

• desde la primera ronda, tiene probabilidad 1/2 y ganancias de 1 rublo: 1/2 x 1 = 1/2
• a partir de la segunda ronda, tiene probabilidad 1/4 y ganancias de 2 rublos: 1/4 x 2 = 1/2
• desde la primera ronda, tiene probabilidad de 1/8 y ganancias de 4 rublos: 1/8 x 4 = 1/2
• desde la primera ronda, tiene probabilidad 1/16 y ganancias de 8 rublos: 1/16 x 8 = 1/2
• desde la primera ronda, tiene una probabilidad de 1/2 ^ny ganancias de 2 ^n-1 rublos: 1/2 ⁿ x 2 ^n-1 = 1/2

el valor de cada ronda es 1/2, y sumar los resultados de las primeras n rondas nos da un valor esperado de n / 2 rublos. Como n puede ser cualquier número entero positivo, el valor esperado es ilimitado.

Entonces, ¿qué deberías pagar para jugar? un rublo, mil rublos o incluso mil millones de rublos serían, a la larga, inferiores al valor esperado. a pesar de que el cálculo anterior promete riquezas incalculables, todos todavía seríamos reacios a pagar mucho por jugar.

Existen numerosas formas de resolver la paradoja. Una de las formas más simples es que nadie ofrecería un juego como el descrito anteriormente. nadie tiene los recursos infinitos que se necesitarían para pagarle a alguien que continuó volteando cabezas.

Otra forma de resolver la paradoja consiste en señalar lo improbable que es obtener algo así como 20 cabezas seguidas. Las probabilidades de que esto suceda son mejores que ganar la mayoría de las loterías estatales . la gente juega rutinariamente tales loterías por cinco dólares o menos. así que el precio para jugar el st. El juego de Petersburgo probablemente no debería exceder unos pocos dólares.

si el hombre en st. Petersburgo dice que le costará algo más que unos pocos rublos jugar su juego, debe rechazarlo cortésmente y alejarse. los rublos no valen mucho de todos modos.