C贸mo encontrar la probabilidad condicional

C贸mo encontrar la probabilidad condicional

Un ejemplo sencillo de probabilidad condicional es la probabilidad de que una carta extra铆da de una baraja de cartas est谩ndar sea un rey. Hay un total de cuatro reyes de 52 cartas, por lo que la probabilidad es simplemente 4/52. Relacionada con este c谩lculo est谩 la siguiente pregunta: "驴Cu谩l es la probabilidad de que saquemos un rey dado que ya hemos sacado una carta del mazo y es un as?" Aqu铆 consideramos el contenido de la baraja de cartas. Todav铆a hay cuatro reyes, pero ahora solo hay 51 cartas en la baraja. La probabilidad de sacar un rey dado que ya se ha sacado un as es 4/51.

La probabilidad condicional se define como la probabilidad de un evento dado que ha ocurrido otro evento. Si nombramos estos eventos A y B , entonces podemos hablar de la probabilidad de A dado B . Tambi茅n podr铆amos hacer referencia a la probabilidad de A depende de B .

Notaci贸n

La notaci贸n para la probabilidad condicional var铆a de un libro de texto a otro. En todas las notaciones, la indicaci贸n es que la probabilidad a la que nos referimos depende de otro evento. Una de las notaciones m谩s comunes para la probabilidad de A dado B es P (A | B) . Otra notaci贸n que se utiliza es P B (A) .

F贸rmula

Existe una f贸rmula para la probabilidad condicional que conecta esto con la probabilidad de A y B :

P (A | B) = P (A 鈭 B) / P (B)

Esencialmente lo que esta f贸rmula est谩 diciendo es que para calcular la probabilidad condicional del evento A dado el caso B , cambiamos nuestro espacio muestral consistir en s贸lo el conjunto B . Al hacer esto, no tenemos en cuenta la totalidad del evento A , pero s贸lo la parte de A , que tambi茅n est谩 contenido en B . El conjunto que acabamos de describir se puede identificar en t茅rminos m谩s familiares como la intersecci贸n de A y B .

Podemos usar 谩lgebra para expresar la f贸rmula anterior de una manera diferente:

P (UNA 鈭 B) = P (A | B) P (B)

Ejemplo

Revisaremos el ejemplo con el que comenzamos a la luz de esta informaci贸n. Queremos saber la probabilidad de sacar un rey dado que ya se ha extra铆do un as. Por tanto, el evento A es que dibujamos un rey. El evento B es que sacamos un as.

La probabilidad de que sucedan ambos eventos y saquemos un as y luego un rey corresponde a P (A 鈭 B). El valor de esta probabilidad es 12/2652. La probabilidad del evento B , de que saquemos un as, es 4/52. Por lo tanto, usamos la f贸rmula de probabilidad condicional y vemos que la probabilidad de sacar un rey dado que un as es (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Otro ejemplo

Para otro ejemplo, veremos el experimento de probabilidad en el que tiramos dos dados . Una pregunta que podr铆amos hacer es: "驴Cu谩l es la probabilidad de que hayamos sacado un tres, dado que hemos sacado una suma de menos de seis?"

Aqu铆 el evento A es que sacamos un tres, y el evento B es que sacamos una suma menor que seis. Hay un total de 36 formas de lanzar dos dados. De estas 36 formas, podemos sacar una suma menor que seis de diez formas:

  • 1 + 1 = 2
  • 1 + 2 = 3
  • 1 + 3 = 4
  • 1 + 4 = 5
  • 2 + 1 = 3
  • 2 + 2 = 4
  • 2 + 3 = 5
  • 3 + 1 = 4
  • 3 + 2 = 5
  • 4 + 1 = 5

Eventos independientes

Hay algunos casos en los que la probabilidad condicional de A dado el caso B es igual a la probabilidad de A . En esta situaci贸n, decimos que los eventos A y B son independientes entre s铆. La f贸rmula anterior se convierte en:

P (A | B) = P (A) = P (A 鈭 B) / P (B),

y recuperamos la f贸rmula de que para eventos independientes la probabilidad tanto de A como de B se encuentra multiplicando las probabilidades de cada uno de estos eventos:

P (A 鈭 B) = P (B) P (A)

Cuando dos eventos son independientes, esto significa que un evento no tiene ning煤n efecto sobre el otro. Lanzar una moneda y luego otra es un ejemplo de eventos independientes. Un lanzamiento de moneda no tiene ning煤n efecto sobre el otro.

Precauciones

Tenga mucho cuidado de identificar qu茅 evento depende del otro. En general, P (A | B) no es igual a P (B | A) . Esa es la probabilidad de A dado el caso B no es la misma que la probabilidad de B dado el caso A .

En un ejemplo anterior, vimos que al lanzar dos dados, la probabilidad de obtener un tres, dado que hemos lanzado una suma de menos de seis, era 4/10. Por otro lado, 驴cu谩l es la probabilidad de sacar una suma menor que seis dado que hemos sacado un tres? La probabilidad de sacar un tres y una suma menor que seis es 4/36. La probabilidad de sacar al menos un tres es 11/36. Entonces, la probabilidad condicional en este caso es (4/36) / (11/36) = 4/11.



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