¿Qué son las identidades pitagóricas?

la mayoría de las personas recuerdan el teorema de pitágoras de la geometría del principiante, es un clásico. es un ² + b ² = c ² , donde a , b y c son los lados de un triángulo rectángulo ( c es la hipotenusa). Bueno, este teorema también puede ser reescrito para la trigonometría!

Las principales identidades pitagóricas son:

sin ² ( θ ) + cos ² ( θ ) = 1

1 + tan ² ( θ ) = sec ² ( θ )

1 + cuna ² ( θ ) = csc ² ( θ )

Las identidades pitagóricas son ejemplos de identidades trigonométricas : igualdades (ecuaciones) que usan funciones trigonométricas.

Las identidades pitagóricas pueden ser muy útiles para simplificar sentencias y ecuaciones complicadas. Memorízalos ahora, ¡y puedes ahorrarte mucho tiempo en el camino!

estas identidades son bastante simples de probar si piensas en las definiciones de las funciones trigonométricas. por ejemplo, probemos que sin ² ( θ ) + cos ² ( θ ) = 1.

recuerde que la definición de seno es el lado opuesto / hipotenusa, y que el coseno es el lado adyacente / hipotenusa.

entonces el pecado ² = opuesto ² / hipotenusa ²

y cos ² = adyacente ² / hipotenusa ²

Puedes agregar estos dos fácilmente porque los denominadores son iguales.

sin ² + cos ² = (opuesto ² + adyacente ² ) / hipotenusa ²

Ahora echemos otro vistazo al teorema de pitágoras. dice que a ² + b ² = c ² . tenga en cuenta que a y b representan los lados opuestos y adyacentes, y c representa la hipotenusa.

puedes reorganizar la ecuación dividiendo ambos lados por c ² :

a ² + b ² = c ²

( a ² + b ² ) / c ² = 1

como a ² y b ² son los lados opuestos y adyacentes y c ² es la hipotenusa, tiene una declaración equivalente a la de arriba, con (opuesto ² + adyacente ² ) / hipotenusa ² . y gracias al trabajo con a , b , c y el teorema de pitágoras, ahora puedes ver que esta afirmación es igual a 1.

tan (frente ² + adyacente ² ) / hipotenusa ² = 1,

y por lo tanto: sin ² + cos ² = 1.

(y es mejor escribirlo correctamente: sin ² ( θ ) + cos ² ( θ ) = 1).

Pasemos unos minutos mirando también las identidades recíprocas . recuerde que el recíproco es uno dividido por ("sobre") su número, también conocido como el inverso.

ya que cosecante es el recíproco de seno, csc ( θ ) = 1 / sin ( θ ).

También puedes pensar en cosecante usando la definición de seno. por ejemplo, seno = lado opuesto / hipotenusa. la inversa de eso será la fracción invertida, que es hipotenusa / lado opuesto.

de manera similar, el recíproco de coseno es secante, por lo que se define como sec ( θ ) = 1 / cos ( θ ), o hipotenusa / lado adyacente.

y recíproca de tangente es cotangente, por lo cuna ( θ ) = 1 / tan ( θ ), o cuna = adyacente / lado opuesto lado.

Las pruebas de las identidades pitagóricas que utilizan secante y cosecante son muy similares a las del seno y el coseno. también puede derivar las ecuaciones usando la ecuación "padre", sin ² ( θ ) + cos ² ( θ ) = 1. divida ambos lados por cos ² ( θ ) para obtener la identidad 1 + tan ² ( θ ) = sec ² ( θ ). divide ambos lados por el pecado ² ( θ ) para obtener la identidad 1 + cuna ² ( θ ) = csc ² ( θ ).

¡Buena suerte y asegúrate de memorizar las tres identidades pitagóricas!