Cómo resolver triángulos rectos especiales

En matemáticas y geometría, una de las habilidades que diferencia a los expertos de los pretendientes es el conocimiento de trucos y atajos. El tiempo que dedica a aprenderlos se amortiza en tiempo ahorrado cuando resuelve problemas. por ejemplo, vale la pena conocer dos triángulos rectángulos especiales que, una vez que los reconoces, son fáciles de resolver. Los dos triángulos en particular son el 30-60-90 y el 45-45-90.

los triángulos son polígonos de tres lados cuyos ángulos internos suman 180 grados. el triángulo rectángulo es un caso especial en el que uno de los ángulos es de 90 grados, por lo que los otros dos ángulos, por definición, deben sumar 90. El seno, el coseno, la tangente y otras funciones trigonométricas brindan formas de calcular los ángulos internos de los triángulos rectos. así como la longitud de sus lados. otra herramienta de cálculo indispensable para los triángulos rectos es el teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, o c ² = a ² + b ² .

cuando estás trabajando en cualquier tipo de problema de triángulo rectángulo, generalmente se te da al menos un ángulo y un lado y se te pide que calcules los ángulos y lados restantes. Usando la fórmula pitagórica anterior, puedes calcular la longitud de cualquier lado si te dan los otros dos. Una gran ventaja de los triángulos rectos especiales es que las proporciones de las longitudes de sus lados son siempre las mismas, por lo que puedes encontrar la longitud de todos los lados si solo te dan uno. Además, si te dan solo un lado y el triángulo es especial, también puedes encontrar los valores de los ángulos.

como su nombre lo indica, el triángulo rectángulo 30-60-90 tiene ángulos internos de 30, 60 y 90 grados. como consecuencia, los lados de este triángulo caen en las proporciones, 1: 2: √3, donde 1 y √3 son las longitudes de los lados opuestos y adyacentes y 2 es la hipotenusa. estos números siempre van juntos: si resuelves los lados de un triángulo rectángulo y descubres que se ajustan al patrón, 1, 2, √3, sabes que los ángulos serán 30, 60 y 90 grados. Del mismo modo, si te dan uno de los ángulos como 30, sabes que los otros dos son 60 y 90, y también que los lados tendrán las proporciones, 1: 2: √3.

El triángulo 45-45-90 funciona de manera muy similar al 30-60-90, excepto que dos ángulos son iguales, al igual que los lados opuestos y adyacentes. Tiene ángulos internos de 45, 45 y 90 grados. las proporciones de los lados del triángulo son 1: 1: √2, con la proporción de la hipotenusa √2. los otros dos lados son iguales en longitud entre sí. Si está trabajando en un triángulo rectángulo y uno de los ángulos internos es de 45 grados, sabrá en un instante que el ángulo restante también debe ser de 45 grados, porque todo el triángulo debe sumar hasta 180 grados.

Al resolver los dos triángulos rectos especiales, tenga en cuenta que lo que importa son las proporciones de los lados, no su medida en términos absolutos. por ejemplo, un triángulo tiene lados que miden 1 pie y 1 pie y √2 pies, así que sabes que es un triángulo 45-45-90 y tiene ángulos internos de 45, 45 y 90 grados.

pero ¿qué hace con un triángulo rectángulo cuyos lados miden √17 pies y √17 pies? Las proporciones de los lados son la clave. ya que los dos lados son idénticos, la proporción es 1: 1 entre sí, y debido a que es un triángulo rectángulo, la proporción de la hipotenusa es 1: √2 con cualquiera de los otros lados. las proporciones iguales indican que los lados son 1, 1, √2, que pertenece solo al triángulo especial 45-45-90. para hallar la hipotenusa, multiplica √17 por √2 para obtener √34 pies.