un número irracional no es tan aterrador como suena; es solo un número que no se puede expresar como una fracción simple o, para decirlo de otra manera, un número irracional es un decimal interminable que continúa un número infinito de lugares más allá del punto decimal. puede realizar la mayoría de las operaciones en números irracionales, tal como lo haría con números racionales, pero cuando se trata de tomar raíces cuadradas, tendrá que aprender a aproximar el valor.
¿Qué es un número irracional?
Entonces, ¿qué es un número irracional, de todos modos? es posible que ya esté familiarizado con dos números irracionales muy famosos: π o "pi", que casi siempre se abrevia como 3.14 pero, de hecho, continúa infinitamente a la derecha del punto decimal; y "e", también conocido como el número de euler, que generalmente se abrevia como 2.71828, pero también continúa infinitamente a la derecha del punto decimal.
pero hay muchos más números irracionales, y aquí hay una manera fácil de detectarlos: si el número debajo de un signo de raíz cuadrada no es un cuadrado perfecto, entonces esa raíz cuadrada es un número irracional.
eso es un bocado tremendamente grande, así que aquí hay un ejemplo para dejarlo claro. también ayuda recordar que un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero:
¿Es √8 un número irracional? si has memorizado tus cuadrados perfectos o te tomas el tiempo de buscarlos, sabrás que √4 = 2 y √9 = 3. ya que √8 está entre esos dos números, pero no hay un número entero entre 2 y 3 Para ser su raíz, √8 es irracional.
tomando la raíz cuadrada de un número irracional
Cuando se trata de calcular la raíz cuadrada de un número irracional, tienes dos opciones. ponga el número irracional en una calculadora o una calculadora de raíz cuadrada en línea (ver recursos), en cuyo caso la calculadora devolverá un valor aproximado para usted, o puede usar un proceso de cuatro pasos para estimar el valor usted mismo.
ejemplo 1: estime el valor del número irracional √8.
encuentra los cuadrados perfectos que estarían a cada lado de √8 en la línea numérica. en este caso, √4 = 2 y √9 = 3. elija la más cercana a su número objetivo. como 8 está mucho más cerca de 9 que de 4, elige √9 = 3.
a continuación, divida el número cuya raíz desea - 8 - entre su estimación. Continuando con el ejemplo, tienes:
8 ÷ 3 = 2.67
ahora, encuentre el promedio del resultado del paso 2 con el divisor del paso 2. aquí, eso significa un promedio de 3 y 2.67. Primero sume los dos números y luego divida por dos:
3 + 2.67 = 5.6667 (este es en realidad el decimal de repetición 5.6666666666, pero se ha redondeado a cuatro decimales en aras de la brevedad.)
5.6667 ÷ 2 = 2.83335
El resultado del paso 3 todavía no es exacto, pero se está acercando. repita los pasos 2 y 3 según sea necesario, utilizando el resultado del paso 3 como el nuevo divisor en el paso 2 cada vez.
para continuar con el ejemplo, dividirías 8 por el resultado del paso 3 (2.83335), que te da:
8 ÷ 2.83335 = 2.8235 (de nuevo, redondeando a cuatro lugares decimales en aras de la brevedad)
Luego, promediaría el resultado de su división con el divisor, lo que le da:
2.83335 + 2.8235 = 5.65685
5.65685 ÷ 2 = 2.828425
puede continuar este proceso, repitiendo los pasos 2 y 3 según sea necesario, hasta que la respuesta sea tan exacta como la necesita.
¿Qué pasa con las raíces cuadradas irracionales?
a veces, en lugar de encontrar la raíz cuadrada de un número irracional, debes tratar con números irracionales que se expresan en forma de raíz cuadrada; uno de los más famosos que conocerás es √2.
no hay mucho que puedas hacer con √2, aparte de aproximar su valor como se describió anteriormente. pero si obtienes un número irracional más grande en forma de raíz cuadrada, a veces puedes usar el hecho de que √cd = √c × √d para volver a escribir la respuesta en una forma más simple.
Considera la raíz cuadrada irracional √32. Aunque no tiene una raíz principal (es decir, una raíz entera no negativa), puede factorizarlo en algo con una raíz principal conocida:
√32 = √16 × √2
todavía no puedes hacer mucho con √2, pero √16 = 4, así que puedes llevar esto un paso más allá y escribirlo como √32 = 4√2. Si bien no ha eliminado el signo radical por completo, ha simplificado este número irracional al tiempo que conserva su valor exacto.