Cómo resolver ecuaciones cúbicas

Cómo resolver ecuaciones cúbicas

Resolver funciones polinomiales es una habilidad clave para cualquiera que estudie matemáticas o física, pero abordar el proceso, especialmente cuando se trata de funciones de orden superior, puede ser bastante difícil. una función cúbica es uno de los tipos de ecuación polinomial más desafiantes que puede tener que resolver a mano. Si bien puede que no sea tan sencillo como resolver una ecuación cuadrática, existen varios métodos que puede utilizar para encontrar la solución a una ecuación cúbica sin tener que recurrir a páginas y páginas de álgebra detallada.

¿Qué es una función cúbica?

Una función cúbica es un polinomio de tercer grado. Una función polinomial general tiene la forma:

f (x) = ax ^ n + bx ^ {n-1} + cx ^ {n-2} ... vx ^ 3 + wx ^ 2 + zx + k

aquí, x es la variable, n es simplemente cualquier número (y el grado del polinomio), k es una constante y las otras letras son coeficientes constantes para cada potencia de x . entonces una función cúbica tiene n = 3, y es simplemente:

f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d

donde en este caso, d es la constante. En términos generales, cuando tenga que resolver una ecuación cúbica, se le presentará en la forma:

ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d = 0

Cada solución para x se llama una "raíz" de la ecuación. Las ecuaciones cúbicas tienen una raíz real o tres, aunque pueden repetirse, pero siempre hay al menos una solución.

el tipo de ecuación está definido por la potencia más alta, por lo que en el ejemplo anterior, no sería una ecuación cúbica si a = 0 , porque el término de potencia más alta sería bx 2 y sería una ecuación cuadrática. esto significa que las siguientes son todas las ecuaciones cúbicas:

2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 6x −9 = 0 \\ x ^ 3 −9x + 1 = 0 \\ x ^ 3 −15x ^ 2 = 0

Resolución utilizando el teorema de factores y la división sintética.

La forma más fácil de resolver una ecuación cúbica es con un poco de conjeturas y un tipo de proceso algorítmico llamado división sintética. Sin embargo, el inicio es básicamente el mismo que el método de prueba y error para las soluciones de ecuaciones cúbicas. Trate de averiguar cuál es una de las raíces adivinando. Si tiene una ecuación donde el primer coeficiente, a , es igual a 1, entonces es un poco más fácil adivinar una de las raíces, porque siempre son factores del término constante que se representa arriba con d .

Entonces, mirando la siguiente ecuación, por ejemplo:

x ^ 3 - 5x ^ 2 - 2x + 24 = 0

tienes que adivinar uno de los valores para x , pero como a = 1 en este caso sabes que cualquiera que sea el valor, tiene que ser un factor de 24. El primer factor es 1, pero esto dejaría:

1 - 5 - 2 + 24 = 18

que no es cero, y −1 dejaría:

−1 - 5 + 2 + 24 = 20

que de nuevo no es cero. A continuación, x = 2 daría:

8 - 20 - 4 + 24 = 8

otro falla intentando x = −2 da:

−8 - 20 + 4 + 24 = 0

esto significa que x = −2 es una raíz de la ecuación cúbica. Esto muestra los beneficios y desventajas del método de prueba y error: puede obtener la respuesta sin pensarlo mucho, pero requiere mucho tiempo (especialmente si tiene que ir a factores más altos antes de encontrar una raíz). por suerte, cuando has encontrado una raíz, puedes resolver el resto de la ecuación fácilmente.

La clave es incorporar el teorema del factor. esto indica que si x = s es una solución, entonces ( x - s ) es un factor que se puede sacar de la ecuación. para esta situación, s = −2, y entonces ( x + 2) es un factor que podemos sacar para dejar:

(x + 2) (x ^ 2 + ax + b) = 0

los términos en el segundo grupo de corchetes tienen la forma de una ecuación cuadrática, por lo que si encuentra los valores apropiados para a y b , la ecuación se puede resolver.

Esto se puede lograr usando división sintética. Primero, escriba los coeficientes de la ecuación original en la fila superior de una tabla, con una línea divisoria y luego la raíz conocida a la derecha:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & &\\ hline & & & & end \ array {array}

deje una fila de repuesto y luego agregue una línea horizontal debajo de ella. Primero, lleve el primer número (1 en este caso) a la fila debajo de su línea horizontal

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & &\\ hline 1 & & & & \ end {array }

ahora multiplica el número que acabas de bajar por la raíz conocida. en este caso, 1 × −2 = −2, y esto se escribe debajo del siguiente número en la lista, como sigue:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {formación}

luego agregue los números en la segunda columna y coloque el resultado debajo de la línea horizontal:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & -7 & & & \ end {array}

ahora repita el proceso que acaba de pasar con el nuevo número debajo de la línea horizontal: multiplique por la raíz, coloque la respuesta en el espacio vacío en la siguiente columna y luego agregue la columna para obtener un nuevo número en la fila inferior . esto deja:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & & \ end {array}

y luego pasar por el proceso por última vez.

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & 0 & \ end {array}

el hecho de que la última respuesta sea cero te dice que tienes una raíz válida, por lo que si no es cero, entonces has cometido un error en alguna parte.

ahora, la fila inferior le indica los factores de los tres términos en el segundo conjunto de paréntesis, para que pueda escribir:

(x ^ 2 - 7x + 12) = 0

y entonces:

(x + 2) (x ^ 2 - 7x + 12) = 0

Esta es la etapa más importante de la solución, y puede terminar desde este punto en adelante de muchas maneras.

factorización de polinomios cúbicos

Una vez que haya eliminado un factor, puede encontrar una solución utilizando la factorización. desde el paso anterior, este es básicamente el mismo problema que factorizar una ecuación cuadrática, lo que puede ser un desafío en algunos casos. sin embargo, para la expresión:

(x ^ 2 - 7x + 12)

Si recuerdas que los dos números que colocas entre paréntesis deben sumarse para dar el segundo coeficiente (7) y multiplicar para dar el tercero (12), es bastante fácil ver que en este caso:

(x ^ 2 - 7x + 12) = (x - 3) (x - 4)

Puedes multiplicar esto para verificar, si quieres. no se desanime si no puede ver la factorización de inmediato; Se necesita un poco de práctica. esto deja la ecuación original como:

(x + 2) (x - 3) (x - 4) = 0

lo que se puede ver inmediatamente tiene soluciones en x = −2, 3 y 4 (todos los cuales son factores de 24, la constante original). en teoría, también puede ser posible ver la factorización completa a partir de la versión original de la ecuación, pero esto es mucho más desafiante, por lo que es mejor encontrar una solución de prueba y error y usar el enfoque anterior antes de intentar detectar una factorización.

Si te cuesta ver la factorización, puedes usar la fórmula de ecuación cuadrática:

x = {- b \ pm \ sqrt {b ^ 2 - 4ac} \ anterior {1pt} 2a}

Para encontrar las soluciones restantes.

usando la fórmula cúbica

aunque es mucho más grande y menos fácil de tratar, hay un simple solucionador de ecuaciones cúbicas en la forma de la fórmula cúbica. esto es como la fórmula de la ecuación cuadrática en que simplemente ingresas los valores de a , b , c y d para obtener una solución, pero es mucho más largo.

se afirma que:

x = (q + [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + (q - [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + p

dónde

p = {−b \ anterior {1pt} 3a}
q = p ^ 3 + {bc − 3ad \ anterior {1pt} 6a ^ 2}

y

r = {c \ anterior {1pt} 3a}

el uso de esta fórmula requiere mucho tiempo, pero si no desea utilizar el método de prueba y error para las soluciones de ecuaciones cúbicas y luego la fórmula cuadrática, esto funciona cuando lo hace todo.



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